Математически анализ за начинаещи. Висша математика за манекени или откъде да започна? Въведение в анализа

Купчина ужасни формули, наръчници по висша математика, които отваряш и после затваряш, мъчителни търсения на решение на една наглед съвсем проста задача.... Тази ситуация не е необичайна, особено когато учебник по математика беше отворен за последно в далечния 11 клас. Междувременно в университетите учебните програми на много специалности предвиждат изучаване на любимата на всички висша математика. И в тази ситуация често се чувствате като пълен чайник пред купчина ужасни математически глупости. Освен това подобна ситуация може да възникне при изучаване на всеки предмет, особено от цикъла на природните науки.

Какво да правя? За редовен студент всичко е много по-лесно, освен ако, разбира се, темата не е много пренебрегвана. Можете да се консултирате с учител, съученици и просто да изневерите на съсед на бюрото. Дори пълен чайник по висша математика ще оцелее на сесията в такива ситуации.

И ако човек учи в кореспондентския отдел на университет, а висшата математика, меко казано, едва ли ще се изисква в бъдеще? Освен това няма абсолютно никакво време за уроци. Така е, в повечето случаи е така, но никой не е отменил изпълнението на тестове и полагането на изпит (най-често писмен). С тестове по висша математика всичко е по-лесно, ти си чайник или не си чайник - може да се поръча тестова работа по математика... Например моята. А за останалите предмети също можете да поръчате. Вече не тук. Но попълването и доставянето на тестовите документи за преглед все още няма да доведе до желания рекорд в класната книга. Често се случва произведение на изкуството, направено по поръчка, да трябва да бъде защитено и да се обясни защо от тези букви следва следната формула. Освен това предстоят изпити, а там ще трябва САМИ да решавате детерминанти, лимити и производни. Освен ако, разбира се, учителят не приеме ценни подаръци или няма нает доброжелател извън класната стая.

Позволете ми да ви дам няколко много важни съвета. На тестове, изпити по точни и природни науки Е МНОГО ВАЖНО ДА РАЗБИРАТЕ НЕЩО. Запомнете, ПОНЕ НЕЩО. Пълното отсъствие на мисловни процеси просто вбесява учителя, знам за случаи, когато студентите на кореспонденция са били увивани 5-6 пъти. Спомням си, че един млад мъж издържа теста 4 пъти и след всяко повторно полагане се обръщаше към мен за безплатна гаранционна консултация. В крайна сметка забелязах, че в отговора той пише буквата "пе" вместо буквата "пи", което е последвано от тежки санкции от страна на рецензента. Студентът ДОРИ НЕ ИСКАШЕ ДА РАЗУМЯВА заданието, което небрежно пренаписа

Можете да бъдете пълен чайник във висшата математика, но е много желателно да знаете, че производната на константа е равна на нула. Защото ако отговорите на някаква глупост на елементарен въпрос, тогава има голяма вероятност следването ви в университета да приключи за вас. Учителите много повече подкрепят ученика, който ПОНЕ СЕ ОПИТВА да разбере предмета, към този, който, макар и погрешно, се опитва да реши, обясни или докаже нещо. И това твърдение е вярно за всички дисциплини. Следователно позицията „нищо не знам, нищо не разбирам“ трябва решително да бъде отхвърлена.

Вторият важен съвет е да ПОСЕЩАВАТЕ ЛЕКЦИИТЕ, дори и да са малко. Вече споменах това на главната страница на сайта. Математика за задочни студенти... Няма смисъл да повтарям защо това е МНОГО важно, прочетете там.

И така, какво да правите, ако тест, изпит по висша математика е точно зад ъгъла и нещата са плачевни - състоянието на пълен или, по-точно, празен чайник?

Една от възможностите е да наемете преподавател. Най-голямата база данни с преподаватели може да бъде намерена (главно в Москва) или (главно в Санкт Петербург). С помощта на търсачка е напълно възможно да намерите преподавател във вашия град или да разгледате местни рекламни вестници. Цената за услугите на преподавател може да варира от 400 рубли или повече на час, в зависимост от квалификацията на учителя. Трябва да се отбележи, че евтино не означава лошо, особено ако имате добър математически опит. В същото време за 2-3K рубли ще получите МАЛКО. Никой не взима такива пари напразно и никой не плаща такива пари напразно ;-). Единственият важен момент е да се опитате да изберете преподавател със специализирано педагогическо образование. Наистина, ние не ходим на зъболекар за правна помощ.

Напоследък услугата за онлайн обучение набира популярност. Много е удобно, когато трябва спешно да решите един или два проблема, да разберете тема или да се подготвите за изпит. Безусловно предимство са цените, които са няколко пъти по-ниски от тези на офлайн преподавател + спестяване на време за пътуване, което е особено важно за жителите на мегаполиси.

В хода на висшата математика е много трудно да се овладеят някои неща без преподавател, имаш нужда от „живо“ обяснение.

Въпреки това е напълно възможно да разберете много видове проблеми сами и целта на този раздел на сайта е да ви научи как да решавате типични примери и проблеми, които почти винаги се срещат на изпитите. Освен това за редица задачи има „твърди“ алгоритми, при които „няма измъкване“ от правилното решение. И доколкото ми е известно ще се опитам да ви помогна, още повече че има педагогическо образование и трудов стаж по специалността.

Нека започнем да бъркаме математически глупости. Всичко е наред, дори и да сте чайник, висша математика - това е наистина просто и наистина достъпно.

И трябва да започнете с повторение на училищния курс по математика. Повторението е майката на мъките.

Преди да започнете да изучавате моите учебни материали и наистина да започнете да изучавате каквито и да е материали по висша математика, НАСТОЯЩО ПРЕПОРЪЧВАМ да прочетете следното.

За успешно решаване на задачи по висша математика е НЕОБХОДИМО:

ЗАПАЗЕТЕ МИКРОКАЛКУЛАТОР.

От програми - Excel (страхотен избор!). Качих ръководството за манекени в библиотеката.

Има? Вече добре.

– Пермутация на термините - сумата не се променя: .
Но това са напълно различни неща:

Просто е невъзможно да пренаредите "Х" и "четири". В същото време си припомняме култовата буква "X", която в математиката означава неизвестна или променлива величина.

– Пермутация на фактори - продуктът не се променя: .
При деление такъв трик няма да работи и - това са две напълно различни дроби и пермутацията на числителя със знаменателя не става без последствия.
Също така помним, че знакът за умножение („точка“) най-често не се пише:,

– Запомняне на правилата за разширяване на скоби:
- тук знаците на термините не се променят
- и тук те са обърнати.
И за умножение:

Като цяло е достатъчно да запомните това ДВА МИНУСА ДАВАТ ПЛЮС, а ТРИ МИНУСА - ДАВА МИНУС... И опитайте се да не се бъркате в това, когато решавате задачи по висша математика (много често срещана и досадна грешка).

– Припомняме намаляването на подобни терминиТрябва да имате добро разбиране за следното действие:

– Спомнете си какво е диплома:

, , , .

Степента е просто умножение.

–Не забравяйте, че фракциите могат да бъдат намалени: (намалено с 2), (намалено с пет), (намалено с).

– Запомняне на действия с дроби:

и също много важно правило за намаляване на дробите до общ знаменател:

Ако тези примери не са ясни, вижте училищните учебници.
Без това ще бъде СТЯГНАТО.

СЪВЕТ: всички МЕЖДИННИ изчисления във висшата математика се правят най-добре в ОБИКНОВЕНИ ПРАВИЛНИ И ГРЕШНИ ДРАБИ, дори ако получавате ужасни дроби като. Тази дроб НЕ трябва да се представя във формата и освен това НЕ трябва да се разделя на числителя със знаменателя на калкулатора, като се получава 4.334552102....

ИЗКЛЮЧЕНИЕТО от правилото е крайният отговор на задачата, тогава е по-добре да запишете или.

– Уравнението... Има лява и дясна страна. Например:

Можете да прехвърлите всеки термин в друга част, като промените знака му:
Нека прехвърлим, например, всички термини в лявата страна:

Или вдясно:

За тези, които искат да научат как да намерят границите в тази статия, ще ви разкажем за това. Няма да задълбаваме в теорията, обикновено учителите я дават на лекции. Така че "скучната теория" трябва да бъде очертана във вашите тетрадки. Ако това не е така, тогава можете да прочетете учебници, взети от библиотеката на образователната институция или от други интернет ресурси.

И така, концепцията за граница е доста важна при изучаването на курс по висша математика, особено когато попаднете на интегрално смятане и разберете връзката между границата и интеграла. Настоящата статия ще разгледа прости примери, както и начини за решаването им.

Примери за решения

Пример 1
Изчислете а) $ \ lim_ (x \ до 0) \ frac (1) (x) $; б) $ \ lim_ (x \ to \ infty) \ frac (1) (x) $
Решение
а) $$ \ lim \ limits_ (x \ до 0) \ frac (1) (x) = \ infty $$ б) $$ \ lim_ (x \ to \ infty) \ frac (1) (x) = 0 $$ Често ни изпращат тези ограничения с молба да помогнем за решаването им. Решихме да ги подчертаем като отделен пример и да обясним, че тези граници трябва просто да се запомнят, като правило. Ако не можете да решите проблема си, изпратете ни го. Ние ще предоставим подробно решение. Ще можете да се запознаете с хода на изчислението и да получите информация. Това ще ви помогне да получите кредит от учителя си навреме!
Отговор
$$ \ текст (a)) \ lim \ limits_ (x \ to 0) \ frac (1) (x) = \ infty \ text (b)) \ lim \ limits_ (x \ to \ infty) \ frac (1 ) (x) = 0 $$

Какво да правим с несигурност като: $ \ bigg [\ frac (0) (0) \ bigg] $

Пример 3
Решете $ \ lim \ limits_ (x \ to -1) \ frac (x ^ 2-1) (x + 1) $
Решение
Както винаги, започваме с заместване на стойността на $ x $ в израза под знака за граница. $$ \ lim \ limits_ (x \ to -1) \ frac (x ^ 2-1) (x + 1) = \ frac ((- 1) ^ 2-1) (- 1 + 1) = \ frac ( 0) (0) $$ Какво следва? Какъв трябва да бъде резултатът? Тъй като това е несигурност, това все още не е отговор и продължаваме изчислението. Тъй като имаме полином в числителите, ние го разлагаме на фактори, като използваме формулата, позната на всички от училище $$ a ^ 2-b ^ 2 = (a-b) (a + b) $$. Помниш ли? Глоба! Сега продължете и го приложите с песента :) Получаваме, че числителят $ x ^ 2-1 = (x-1) (x + 1) $ Продължаваме да решаваме предвид горната трансформация: $$ \ lim \ limits_ (x \ to -1) \ frac (x ^ 2-1) (x + 1) = \ lim \ limits_ (x \ to -1) \ frac ((x-1) (x + 1)) (x + 1) = $$ $$ = \ lim \ limits_ (x \ до -1) (x-1) = - 1-1 = -2 $$
Отговор
$$ \ lim \ limits_ (x \ до -1) \ frac (x ^ 2-1) (x + 1) = -2 $$

Нека преместим границата в последните два примера до безкрайност и разгледаме несигурността: $ \ bigg [\ frac (\ infty) (\ infty) \ bigg] $

Пример 5
Оценете $ \ lim \ limits_ (x \ to \ infty) \ frac (x ^ 2-1) (x + 1) $
Решение
$ \ lim \ limits_ (x \ to \ infty) \ frac (x ^ 2-1) (x + 1) = \ frac (\ infty) (\ infty) $ Какво да правя? Как да бъде? Не се паникьосвайте, защото невъзможното е възможно. Необходимо е да поставите x извън скобите както в числителя, така и в знаменателя и след това да го намалите. След това опитайте да изчислите лимита. Опитвайки ... $$ \ lim \ limits_ (x \ to \ infty) \ frac (x ^ 2-1) (x + 1) = \ lim \ limits_ (x \ to \ infty) \ frac (x ^ 2 (1- \ frac) (1) (x ^ 2))) (x (1+ \ frac (1) (x))) = $$ $$ = \ lim \ limits_ (x \ to \ infty) \ frac (x (1- \ frac (1) (x ^ 2))) ((1+ \ frac (1) (x))) = $$ Използвайки дефиницията от пример 2 и замествайки безкрайността за x, получаваме: $$ = \ frac (\ infty (1- \ frac (1) (\ infty))) ((1+ \ frac (1) (\ infty))) = \ frac (\ infty \ cdot 1) (1+ 0) = \ frac (\ infty) (1) = \ infty $$
Отговор
$$ \ lim \ limits_ (x \ to \ infty) \ frac (x ^ 2-1) (x + 1) = \ infty $$

Алгоритъм за изчисляване на лимити

И така, нека обобщим накратко анализираните примери и съставим алгоритъм за решаване на границите:

Заместете точката x в израза след граничния знак. Ако получите определено число или безкрайност, тогава ограничението е напълно решено. В противен случай имаме неяснота: „разделете нула на нула“ или „разделете безкрайността на безкрайност“ и преминете към следващите параграфи от инструкцията.
За да премахнете неяснотата "нула, разделена на нула", трябва да разбиете числителя и знаменателя на фактори. Намалете подобни. Заместете точката x в израза под знака за граница.
Ако неопределеността е "безкрайност, разделена на безкрайност", тогава изваждаме както в числителя, така и в знаменателя на x в най-голяма степен. Намаляване на х-тата. Заменете x стойностите от под ограничението в останалия израз.

В тази статия научихте основите на решаването на граници, които обикновено се използват в курса по математически анализ. Разбира се, това не са всички видове задачи, предлагани от проверяващите, а само най-простите граници. В следващите статии ще говорим за други видове задачи, но първо трябва да научите този урок, за да продължите напред. Ще обсъдим какво да правим, ако има корени, степени, ще изучаваме безкрайно малки еквивалентни функции, прекрасни граници, правилото на L'Hôpital.

Ако не можете сами да разберете границите, тогава не се паникьосвайте. Винаги се радваме да помогнем!

И трябва да започнете с повторение на училищния курс по математика. Повторението е майката на мъките.

За успешно решаване на задачи по висша математика е НЕОБХОДИМО:

ЗАПАЗЕТЕ МИКРОКАЛКУЛАТОР.

От програми - Excel (страхотен избор!). Качих ръководството за манекени в библиотеката.

Има? Вече добре.

– Пермутация на термините - сумата не се променя: .
Но това са напълно различни неща:

– Припомняме намаляването на подобни терминиТрябва да имате добро разбиране за следното действие:

– Спомнете си какво е диплома:

, , , .

Степента е просто умножение.

–Не забравяйте, че фракциите могат да бъдат намалени: (намалено с 2), (намалено с пет), (намалено с).

– Запомняне на действия с дроби:

ИЗКЛЮЧЕНИЕТО от правилото е крайният отговор на задачата, тогава е по-добре да запишете или.

– Уравнението... Има лява и дясна страна. Например:

Категорията Математически анализ съдържа безплатни онлайн видео уроци по тази тема. Математическият анализ е съвкупност от клонове на математиката, които изучават функциите и техните обобщения чрез методи на диференциално и интегрално смятане. Те включват: функционален анализ, включително теорията на интеграла на Лебег, комплексен анализ (TFKP), който изучава функции, дефинирани в комплексната равнина, теория на редовете и многомерните интеграли, нестандартен анализ, който изучава безкрайно малки и безкрайно големи числа, векторен анализ и вариационно смятане. Изучаването на математически анализ от видео уроци ще бъде полезно както за начинаещи, така и за по-опитни математици. Видео уроци от рубриката Математически анализ можете да гледате безплатно по всяко удобно време. Някои видео уроци по математически анализ имат допълнителни материали, които могат да бъдат изтеглени. Насладете се на ученето си!

Общо материали: 12
Показани материали: 1-10

Каква е производната на функция

Искате ли да знаете какво е производната на функция в математиката? Вие, разбира се, сте чували за производната много пъти и вероятно дори сте взели точно тази производна в училище, напълно не разбирайки смисъла на вашите действия. В това видео няма да ви уча формулите, но ще обясня значението на производната на пръстите, така че дори и кръгъл чайник да е ясен. Но първо, по-добре изгледайте предишното ми видео, където също говоря за функцията по достъпен начин. В този видео урок ние сме прости, разбираеми и ясни примери от живота ...

Въведение в анализа. Кардиналност

Онлайн урок „Въведение в анализа. Кардиналност ”е посветен на въпроса за такова понятие като кардиналност. Този въпрос се отнася до количествената характеристика на множествата. Ако множеството е крайно, тогава можем да говорим за броя на неговите елементи. Но какво да кажем за безкрайните множества? Всъщност в този случай няма да има концепция за повече или по-малко. За да се реши този проблем, се въвежда такова понятие като мощност. Кардиналността е инструмент за количествено сравнение за безкрайни множества. Този урок дава...

Лимит на функция в точка - определение, примери

Този онлайн урок описва такова понятие като граница на функция в точка - дефиниция, примери. Повечето от елементите на изследването на функциите се основават на основната концепция за граница на функцията. Тук ще разгледаме границата на функция в точка с помощта на прост пример, след което ще бъде дадено строго определение на границата на функция в точка с подробна илюстрация на графиката за по-добро усвояване на материала. Този урок разглежда и други примери и формулира силна дефиниция на едностранчивото ...

Конвергенция на степенните редове - пример за това как да се намери областта на сближаване, изследване

Този видео урок разказва за такава концепция като сближаването на степенните редове, пример за това как да намерите областта на конвергенция, изследване. Степенен ред е частен случай на функционален ред, когато неговите членове са степенни функции на аргумента x. Областта на конвергенция представлява всички стойности на променливата x, при които се сближават съответните числови серии. За изследване можете да използвате теста на д'Аламбер и да го използвате, за да покажете, че степенният ред се сближава или разминава, и за ...

Какво е антидериват

В това видео ще ви разкажа за антидеривата, който е близък роднина на производната. Всъщност, вие вече знаете почти всичко за нея, ако сте гледали предишните ми видеоклипове, а ние просто трябва да поставим точки на i. Антидериватът е функцията "родител" за производна. Намирането на антидериват означава отговор на въпроса: чие дете? Ако дъщеря е известна, тогава трябва да намерим майка. Преди, напротив, търсихме дъщеря според дадена майка. Сега правим обратния преход - от...

Геометричното значение на производната

В това видео ще говоря за геометричното значение на производната. Ще научите, че геометричният смисъл на производната е, че производната и ъгълът на наклон на допирателната са почти еднакви. Казвам "почти", защото производната е допирателната на допирателната. Можем да приемем, че производната и наклонът на допирателната са тясно свързани. Ако ъгълът на наклон е голям, тогава производната също е голяма и функцията в тази точка рязко се увеличава. Ако ъгълът на наклон е малък, тогава производната също е малка ...

Какво е функция в математиката

Искате ли да знаете какво е функция в математиката? В този видео урок ние просто и ясно, използвайки графични илюстрации и визуални примери от живота, ще ви кажем какво представлява функцията, какъв е нейният аргумент, какви са функциите (увеличаващи, намаляващи, смесени), как можете да зададете функция (използвайки графика, таблица, формули). Ще видите, че връзка, която показва как една величина се отнася към друга величина, се нарича функция. Всяка функция е връзка между количества...

Предел на функция в безкрайност - определение, примери

Урокът "Граница на функция в безкрайност - определение, примери" е посветен на въпроса какви са границите в безкрайността. Повечето от елементарните функции са дефинирани за произволно голяма стойност на аргумента. В този случай е важно да се знае поведението на функцията в безкрайност. Един от елементите на изследването на такова поведение е намирането на границата на функцията в безкрайността. Въпреки че безкрайността не е число и нито една точка на числовата права не й съответства, определението на границата на ...

Ограниченията създават много проблеми на всички ученици по математика. За да разрешите ограничението, понякога трябва да използвате много трикове и да изберете от различни методи за решаване точно този, който е подходящ за конкретен пример.

В тази статия няма да ви помогнем да разберете границите на вашите възможности или да разберете границите на контрола, но ще се опитаме да отговорим на въпроса: как да разберете границите във висшата математика? Разбирането идва с опита, така че в същото време ще дадем няколко подробни примера за решаване на границите с обяснения.

Гранично понятие в математиката

Първият въпрос: каква е тази граница и каква е границата? Можем да говорим за границите на числовите поредици и функции. Интересува ни концепцията за границата на функция, тъй като студентите най-често се сблъскват с тях. Но първо, най-общата дефиниция на лимит:

Да кажем, че има някаква променлива. Ако тази стойност в процеса на промяна неограничено се доближава до определено число а , тогава а Е границата на тази стойност.

За функция, дефинирана в определен интервал f (x) = y ограничението е такова число А , към който функцията клони към х стремящи се към определена точка а ... точка а принадлежи на интервала, на който е дефинирана функцията.

Звучи тромаво, но е много лесно да се напише:

Лим- от английски лимите границата.

Има и геометрично обяснение за дефиницията на границата, но тук няма да навлизаме в теория, тъй като се интересуваме повече от практическата, отколкото от теоретичната страна на въпроса. Когато казваме това х клони към някаква стойност, това означава, че променливата не приема стойността на числото, а е безкрайно близка до него.

Нека дадем конкретен пример. Предизвикателството е да се намери границата.

За да разрешите този пример, заменете стойността х = 3 във функция. Получаваме:

Между другото, ако се интересувате от основни операции с матрици, прочетете отделна статия по тази тема.

В примерите х може да се стреми към всяка стойност. Може да бъде произволно число или безкрайност. Ето един пример кога х клони към безкрайност:

Интуитивно е ясно, че колкото по-голямо е числото в знаменателя, толкова по-ниска стойност ще вземе функцията. И така, с неограничен растеж х смисъл 1 / х ще намалее и ще се доближи до нула.

Както можете да видите, за да разрешите ограничението, просто трябва да замените стойността, към която да се стремите, във функцията х ... Това обаче е най-простият случай. Намирането на границата често не е толкова очевидно. Несигурности като напр 0/0 или безкрайност / безкрайност ... Какво да правим в такива случаи? Да прибягва до трикове!

Несигурност вътре

Неопределеност на формата безкрайност / безкрайност

Нека има граница:

Ако се опитаме да заместим безкрайността във функцията, получаваме безкрайност както в числителя, така и в знаменателя. Като цяло си струва да се каже, че има известен елемент на изкуството в разрешаването на такива несигурности: трябва да се отбележи как една функция може да бъде трансформирана по такъв начин, че несигурността да изчезне. В нашия случай делим числителя и знаменателя на х в висша степен. Какво става?

От примера, който вече беше разгледан по-горе, знаем, че членовете, съдържащи x в знаменателя, ще клонят към нула. Тогава решението на лимита е:

За разкриване на неясноти като безкрайност / безкрайностразделете числителя и знаменателя на хдо най-висока степен.

Между другото! За нашите читатели вече има 10% отстъпка всякакъв вид работа

Друг вид несигурност: 0/0

Както винаги, заместване във функцията стойност х = -1 дава 0 в числителя и знаменателя. Погледнете малко по-внимателно и ще забележите, че имаме квадратно уравнение в числителя. Намерете корените и напишете:

Нека съкратим и получим:

Така че, ако сте изправени пред несигурност като 0/0 - извадете на множители числителя и знаменателя.

За да ви улесним при решаването на примери, ние даваме таблица с ограниченията на някои функции:

Правилото на L'Hôpital отвътре

Друга мощна техника за елиминиране на двата вида несигурност. Каква е същността на метода?

Ако има несигурност в границата, вземаме производната на числителя и знаменателя, докато неопределеността изчезне.

Правилото на L'Hôpital изглежда така:

Важен момент : границата, в която вместо числителя и знаменателя са производни на числителя и знаменателя, трябва да съществува.

А сега за реален пример:

Типична несигурност 0/0 ... Да вземем производните на числителя и знаменателя:

Voila, неяснотите се разрешават бързо и елегантно.

Надяваме се, че можете да приложите полезно тази информация на практика и да намерите отговор на въпроса „как да решим границите във висшата математика”. Ако трябва да изчислите границата на последователност или границата на функция в дадена точка и няма време за тази работа от думата "въобще", свържете се с професионален студентски сервиз за бързо и подробно решение.