ODE. Метод на вариация на произволна константа

Разгледан е метод за решаване на линейни нехомогенни диференциални уравнения от по-висок порядък с постоянни коефициенти по метода на вариация на константите на Лагранж. Методът на Лагранж е приложим и за решаване на всякакви линейни нехомогенни уравнения, ако е известна основната система от решения на хомогенното уравнение.

Вижте също:

Метод на Лагранж (вариация на константи)

Да разгледаме линейно нехомогенно диференциално уравнение с постоянни коефициенти от произволен n-ти порядък:
(1) .
Методът на вариация на константата, който разгледахме за уравнение от първи ред, е приложим и за уравнения от по-висок ред.

Разтворът се извършва на два етапа. В първата стъпка отхвърляме дясната страна и решаваме хомогенното уравнение. В резултат получаваме решение, съдържащо n произволни константи. На втория етап променяме константите. Тоест считаме, че тези константи са функции на независимата променлива x и намираме формата на тези функции.

Въпреки че тук разглеждаме уравнения с постоянни коефициенти, но Методът на Лагранж е приложим и за решаване на всякакви линейни нехомогенни уравнения... За това обаче трябва да се знае основната система от решения на хомогенното уравнение.

Стъпка 1. Решаване на хомогенното уравнение

Както в случая на уравнения от първи ред, първо търсим общо решение на хомогенното уравнение, приравнявайки нехомогенната дясна страна към нула:
(2) .
Общото решение на такова уравнение има формата:
(3) .
Тук са произволни константи; - n линейно независими решения на хомогенно уравнение (2), които образуват фундаментална система от решения на това уравнение.

Стъпка 2. Вариация на константи - замяна на константи с функции

Във втората стъпка ще се заемем с вариацията на константите. С други думи, ще заменим константите с функции на независимата променлива x:
.
Тоест търсим решение на оригиналното уравнение (1) в следната форма:
(4) .

Ако заместим (4) с (1), тогава получаваме едно диференциално уравнение за n функции. Освен това можем да свържем тези функции с допълнителни уравнения. След това получавате n уравнения, от които можете да определите n функции. Допълнителните уравнения могат да бъдат конструирани по различни начини. Но ще го направим така, че решението да има най-простата форма. За това по време на диференцирането е необходимо да се приравнят към нула членовете, съдържащи производни на функции. Нека демонстрираме това.

За да заместим предложеното решение (4) в оригиналното уравнение (1), трябва да намерим производните на първите n реда на функцията, записана във формата (4). Диференцираме (4), прилагайки правилата за диференциране на сбора и произведението:
.
Нека групираме членовете. Първо изписваме термини с производни от, а след това - термини с производни от:

.
Нека наложим първото условие на функциите:
(5.1) .
Тогава изразът за първата производна по отношение на ще има по-проста форма:
(6.1) .

Намираме втората производна по същия начин:

.
Нека наложим второто условие на функциите:
(5.2) .
Тогава
(6.2) .
И т.н. При допълнителни условия залагаме на нула членовете, съдържащи производните на функциите.

По този начин, ако изберете следните допълнителни уравнения за функциите:
(5.k) ,
тогава първите производни по отношение на ще имат най-простата форма:
(6.k) .
Тук .

Намерете n-та производна:
(6.n)
.

Заместете в оригиналното уравнение (1):
(1) ;






.
Нека вземем предвид, че всички функции удовлетворяват уравнение (2):
.
Тогава сборът от съдържащите се членове дава нула. В резултат на това получаваме:
(7) .

В резултат на това получихме система от линейни уравнения за производните:
(5.1) ;
(5.2) ;
(5.3) ;
. . . . . . .
(5.n-1) ;
(7 ′) .

Решавайки тази система, намираме изрази за производните като функция на x. Интегрирайки, получаваме:
.
Ето константи, които вече не зависят от x. Замествайки в (4), получаваме общото решение на оригиналното уравнение.

Имайте предвид, че никъде не сме използвали факта, че коефициентите a i са постоянни, за да определим стойностите на производните. Така Методът на Лагранж е приложим за решаване на всякакви линейни нехомогенни уравненияако е известна основната система от решения на хомогенното уравнение (2).

Примери за

Решете уравненията по метода на вариация на константите (Лагранж).


Примери за решение >>>

Разгледайте сега линейното нехомогенно уравнение
. (2)
Нека y 1, y 2, .., y n е основната система от решения и е общото решение на съответното хомогенно уравнение L (y) = 0. Подобно на случая на уравнения от първи ред, ще търсим решение на уравнение (2) във формата
. (3)
Нека се уверим, че решение в тази форма съществува. За да направим това, заместваме функцията в уравнението. За да заместим тази функция в уравнението, намираме нейните производни. Първата производна е
. (4)
При изчисляване на втората производна от дясната страна на (4) ще се появят четири члена, при изчисляване на третата производна ще се появят осем члена и т.н. Следователно, за удобство на по-нататъшните изчисления, първият член в (4) се приема за нула. Имайки предвид това, втората производна е
. (5)
По същите причини както преди, в (5) ние също задаваме първия член равен на нула. И накрая, n-тата производна е
. (6)
Замествайки получените стойности на производните в оригиналното уравнение, имаме
. (7)
Вторият член в (7) е равен на нула, тъй като функциите y j, j = 1,2, .., n са решения на съответното хомогенно уравнение L (y) = 0. Комбинирайки с предишната, получаваме система от алгебрични уравнения за намиране на функциите C "j (x)
(8)
Детерминантата на тази система е детерминантата на Вронски на основната система от решения y 1, y 2, .., y n на съответното хомогенно уравнение L (y) = 0 и следователно не е равна на нула. Следователно има уникално решение на системата (8). След като го намерим, получаваме функциите C "j (x), j = 1,2, ..., n и следователно C j (x), j = 1,2, ..., n Замествайки тези стойности в (3), получаваме решение на линейно нехомогенно уравнение.
Описаният метод се нарича метод на вариация на произволна константа или метод на Лагранж.

Пример №1. Намерете общото решение на уравнението y "" + 4y "+ 3y = 9e -3 x. Разгледайте съответното хомогенно уравнение y" "+ 4y" + 3y = 0. Корените на неговото характеристично уравнение r 2 + 4r + 3 = 0 са равни на -1 и -3. Следователно основната система от решения на хомогенното уравнение се състои от функциите y 1 = e - x и y 2 = e -3 x. Търсим решението на нехомогенното уравнение във вида y = C 1 (x) e - x + C 2 (x) e -3 x. За да намерим производните C "1, C" 2, съставяме системата от уравнения (8)
C ′ 1 e -x + C ′ 2 e -3x = 0
-C ′ 1 e -x -3C ′ 2 e -3x = 9e -3x
решавайки който, намираме, Интегриране на получените функции, имаме
Най-накрая получаваме

Пример №2. Решаване на линейни диференциални уравнения от втори ред с постоянни коефициенти по метода на вариация на произволни константи:

y (0) = 1 + 3ln3
y ’(0) = 10ln3

Решение:
Това диференциално уравнение се отнася до линейни диференциални уравнения с постоянни коефициенти.
Ще търсим решение на уравнението във вида y = e rx. За да направим това, съставяме характеристичното уравнение на линейно хомогенно диференциално уравнение с постоянни коефициенти:
r 2 -6 r + 8 = 0
D = (-6) 2 - 4 1 8 = 4

Корени на характеристичното уравнение: r 1 = 4, r 2 = 2
Следователно основната система от решения се състои от функциите: y 1 = e 4x, y 2 = e 2x
Общото решение на хомогенното уравнение е: y = C 1 e 4x + C 2 e 2x
Търсене на конкретно решение чрез метода на вариация на произволна константа.
За да намерим производните C"i, съставяме система от уравнения:
C ′ 1 e 4x + C ′ 2 e 2x = 0
C ′ 1 (4e 4x) + C ′ 2 (2e 2x) = 4 / (2 + e -2x)
Нека изразим C "1 от първото уравнение:
C "1 = -c 2 e -2x
и заместник във втория. В резултат на това получаваме:
C "1 = 2 / (e 2x + 2e 4x)
C "2 = -2e 2x / (e 2x + 2e 4x)
Интегрираме получените функции C"i:
C 1 = 2ln (e -2x +2) - e -2x + C * 1
C 2 = ln (2e 2x +1) - 2x + C * 2

Тъй като y = C 1 e 4x + C 2 e 2x, тогава записваме получените изрази във вида:
C 1 = (2ln (e -2x +2) - e -2x + C * 1) e 4x = 2 e 4x ln (e -2x +2) - e 2x + C * 1 e 4x
C 2 = (ln (2e 2x +1) - 2x + C * 2) e 2x = e 2x ln (2e 2x +1) - 2x e 2x + C * 2 e 2x
По този начин общото решение на диференциалното уравнение има вида:
y = 2 e 4x ln (e -2x +2) - e 2x + C * 1 e 4x + e 2x ln (2e 2x +1) - 2x e 2x + C * 2 e 2x
или
y = 2 e 4x ln (e -2x +2) - e 2x + e 2x ln (2e 2x +1) - 2x e 2x + C * 1 e 4x + C * 2 e 2x

Нека намерим конкретно предоставено решение:
y (0) = 1 + 3ln3
y ’(0) = 10ln3

Замествайки x = 0 в намереното уравнение, получаваме:
y (0) = 2 ln (3) - 1 + ln (3) + C * 1 + C * 2 = 3 ln (3) - 1 + C * 1 + C * 2 = 1 + 3ln3
Намерете първата производна на полученото общо решение:
y ’= 2e 2x (2C 1 e 2x + C 2 -2x +4 e 2x ln (e -2x +2) + ln (2e 2x +1) -2)
Замествайки x = 0, получаваме:
y ’(0) = 2 (2C 1 + C 2 +4 ln (3) + ln (3) -2) = 4C 1 + 2C 2 +10 ln (3) -4 = 10ln3

Получаваме система от две уравнения:
3 ln (3) - 1 + C * 1 + C * 2 = 1 + 3ln3
4C 1 + 2C 2 +10 ln (3) -4 = 10ln3
или
C * 1 + C * 2 = 2
4C 1 + 2C 2 = 4
или
C * 1 + C * 2 = 2
2C 1 + C 2 = 2
Откъде: C 1 = 0, C * 2 = 2
Частно решение ще бъде написано като:
y = 2e 4x ln (e -2x +2) - e 2x + e 2x ln (2e 2x +1) - 2x e 2x + 2 e 2x

Метод на вариация на произволни константи

Методът за вариация на произволни константи за конструиране на решение на линейно нехомогенно диференциално уравнение

а н (т)z (н) (т) + а н − 1 (т)z (н − 1) (т) + ... + а 1 (т)z"(т) + а 0 (т)z(т) = е(т)

се състои в замяна на произволни константи ° С кобщо решение

z(т) = ° С 1 z 1 (т) + ° С 2 z 2 (т) + ... + ° С н z н (т)

съответното хомогенно уравнение

а н (т)z (н) (т) + а н − 1 (т)z (н − 1) (т) + ... + а 1 (т)z"(т) + а 0 (т)z(т) = 0

към спомагателни функции ° С к (т) чиито производни удовлетворяват линейната алгебрична система

Детерминантата на система (1) е Вронскиан на функциите z 1 ,z 2 ,...,z н , което гарантира неговата уникална разрешимост по отношение на.

Ако са антипроизводни за, взети при фиксирани стойности на интегриращите константи, тогава функцията

е решение на оригиналното линейно нехомогенно диференциално уравнение. Така интегрирането на нехомогенно уравнение в присъствието на общо решение на съответното хомогенно уравнение се свежда до квадратури.

Вариационен метод за произволни константи за конструиране на решения на система от линейни диференциални уравнения във векторна нормална форма

се състои в конструиране на конкретно решение (1) във формата

където З(т) е основа на решения на съответното хомогенно уравнение, записани под формата на матрица, а векторната функция, която заменя вектора на произволни константи, се дефинира от релацията. Желаното конкретно решение (с нулеви начални стойности при т = т 0 има формата

За система с постоянни коефициенти последният израз е опростен:

Матрица З(т)З- 1 (τ)Наречен матрицата на Кошиоператор Л = А(т) .

Методът на вариация на произволна константа или методът на Лагранж е друг начин за решаване на линейни диференциални уравнения от първи ред и уравнението на Бернули.

Линейните диференциални уравнения от първи ред са уравнения от вида y '+ p (x) y = q (x). Ако от дясната страна има нула: y ’+ p (x) y = 0, това е линейна хомогеннаУравнение от 1-ви ред. Съответно, уравнение с ненулева дясна страна, y '+ p (x) y = q (x), - хетерогененлинейно уравнение от 1-ви ред.

Метод на вариация на произволна константа (метод на Лагранж) е както следва:

1) Търсим общо решение на хомогенното уравнение y ’+ p (x) y = 0: y = y *.

2) В общото решение C се счита не за константа, а за функция на x: C = C (x). Намерете производната на общото решение (y *) „и заменете получения израз за y * и (y *)“ в началното условие. От полученото уравнение намираме функцията C (x).

3) В общото решение на хомогенното уравнение вместо C заместваме намерения израз C (x).

Разгледайте примери за метода за вариация на произволна константа. Нека вземем същите задачи като в, сравним хода на решението и се уверим, че получените отговори съвпадат.

1) y ’= 3x-y / x

Нека пренапишем уравнението в стандартен вид (за разлика от метода на Бернули, където се нуждаехме само от нотацията, за да видим, че уравнението е линейно).

y '+ y / x = 3x (I). Сега действаме по план.

1) Решете хомогенното уравнение y ’+ y / x = 0. Това е разделимо уравнение. Настояще y '= dy / dx, заместител: dy / dx + y / x = 0, dy / dx = -y / x. Умножаваме двете страни на уравнението по dx и разделяме на xy ≠ 0: dy / y = -dx / x. Ние интегрираме:

2) В полученото общо решение на хомогенното уравнение ще считаме C не за константа, а за функция на x: C = C (x). Оттук

Заместваме получените изрази в условие (I):

Интегрираме двете страни на уравнението:

тук C вече е някаква нова константа.

3) В общото решение на хомогенното уравнение y = C / x, където разгледахме С = С (x), тоест y = C (x) / x, вместо С (x) заместваме намерения израз x³ + C: y = (x³ + C) / x или y = x² + C / x. Получихме същия отговор като в решението по метода на Бернули.

Отговор: y = x² + C / x.

2) y ’+ y = cosx.

Тук уравнението вече е написано в стандартен вид, няма нужда от трансформиране.

1) Решете хомогенното линейно уравнение y ’+ y = 0: dy / dx = -y; dy / y = -dx. Ние интегрираме:

За да получим по-удобна форма на нотация, приемаме експонента в степента C като новия C:

Тази трансформация е извършена, за да се улесни намирането на производната.

2) В полученото общо решение на линейното хомогенно уравнение считаме C не за константа, а като функция на x: C = C (x). При това условие

Получените изрази y и y 'се заместват в условието:

Умножете двете страни на уравнението по

Интегрираме двете страни на уравнението по формулата за интегриране по части, получаваме:

Тук C вече не е функция, а обикновена константа.

3) Общото решение на хомогенното уравнение

заместете намерената функция С (x):

Получихме същия отговор като в решението по метода на Бернули.

За решението е приложим методът на вариация на произволна константа.

y'x + y = -xy².

Привеждаме уравнението в стандартния вид: y ’+ y / x = -y² (II).

1) Решете хомогенното уравнение y ’+ y / x = 0. dy / dx = -y / x. Умножете двете страни на уравнението по dx и разделете на y: dy / y = -dx / x. Сега нека интегрираме:

Заместете получените изрази в условие (II):

Нека опростим:

Получаваме уравнение с отделими променливи по отношение на C и x:

Тук C е обикновена константа. В процеса на интеграция вместо C (x) написахме само C, за да не претоварваме записа. И накрая се върнахме към C (x), за да не бъркаме C (x) с новото C.

3) Заместваме намерената функция C (x) в общото решение на хомогенното уравнение y = C (x) / x:

Получихме същия отговор като в решението по метода на Бернули.

Примери за самотест:

1. Препишете уравнението в стандартен вид: y'-2y = x.

1) Решете хомогенното уравнение y'-2y = 0. y ’= dy / dx, следователно dy / dx = 2y, умножете двете страни на уравнението по dx, разделете на y и интегрирайте:

От тук намираме y:

Заместваме изрази за y и y 'в условието (за краткост ще подадем C вместо C (x) и C' вместо C "(x)):

За да намерим интеграла от дясната страна, използваме формулата за интегриране по части:

Сега включваме u, du и v във формулата:

Тук C = const.

3) Сега заместваме хомогенното