Тази статия ще обсъди такова понятие като ранг на матрица и необходимите допълнителни понятия. Ще дадем примери и доказателства за намиране на ранга на матрица, а също така ще ви кажем какво е второстепенна матрица и защо е толкова важна.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Матрица минор

За да разберете какъв е рангът на една матрица, трябва да разберете концепцията за второстепенна матрица.

Определение 1

Незначителенкти ред на матрицата е детерминантата на квадратна матрица от ред k×k, която е съставена от елементи на матрица A, разположени в предварително избрани k-редове и k-колони, като запазва позицията на елементите на матрица A.

Просто казано, ако в матрица A изтриете (p-k) редове и (n-k) колони и от онези елементи, които остават, създадете матрица, запазвайки подредбата на елементите на матрица A, тогава детерминантата на получената матрица е порядъкът k минор на матрица A.

От примера следва, че минори от първи ред на матрица A са самите елементи на матрицата.

Можем да дадем няколко примера за минори от 2-ри ред. Нека изберем два реда и две колони. Например 1-ви и 2-ри ред, 3-та и 4-та колона.

С този избор на елементи второстепенният минор ще бъде - 1 3 0 2 = (- 1) × 2 - 3 × 0 = - 2

Друг минор от 2-ри ред на матрица A е 0 0 1 1 = 0

Нека да предоставим илюстрации на конструкцията на второстепенни второстепенни на матрица A:

Минор от 3-ти ред се получава чрез задраскване на третата колона на матрица A:

0 0 3 1 1 2 - 1 - 4 0 = 0 × 1 × 0 + 0 × 2 × (- 1) + 3 × 1 × (- 4) - 3 × 1 × (- 1) - 0 × 1 × 0 - 0 × 2 × (- 4) = - 9

Илюстрация на това как се получава минор от 3-ти ред на матрица A:

За дадена матрица няма минори по-високи от 3-ти ред, т.к

k ≤ m i n (p , n) = m i n (3 , 4) = 3

Колко минори от порядък k има за матрица A от порядък p×n?

Броят на непълнолетните се изчислява по следната формула:

C p k × C n k , където e C p k = p ! к! (p - k) ! и C n k = n! к! (n - k) ! - броят на комбинациите от p до k, съответно от n до k.

След като сме определили какви са минорите на матрица A, можем да продължим към определяне на ранга на матрица A.

Ранг на матрицата: методи за намиране

Определение 2

Ранг на матрицата - най-високият ред на матрицата, различен от нула.

Обозначение 1

Ранг (A), Rg (A), Rang (A).

От определението за ранг на матрица и минор на матрица става ясно, че рангът на нулева матрица е равен на нула, а рангът на ненулева матрица е различен от нула.

Намиране на ранга на матрица по дефиниция

Определение 3

Метод за изброяване на непълнолетни - метод, основан на определяне на ранга на матрица.

Алгоритъм на действията, използвайки метода за изброяване на непълнолетни :

Необходимо е да се намери рангът на матрица A от ред стр× н. Ако има поне един ненулев елемент, тогава рангът на матрицата е най-малко равен на единица ( защото има минор от 1-ви порядък, който не е равен на нула).

Следва изброяването на второстепенни лица от 2-ри ред. Ако всички минори от 2-ри ред са равни на нула, тогава рангът е равен на единица. Ако има поне един ненулев минор от 2-ри ред, е необходимо да се премине към изброяване на минорите от 3-ти ред, а рангът на матрицата в този случай ще бъде равен на поне две.

Нека направим същото с ранга от 3-ти ред: ако всички минори на матрицата са равни на нула, тогава рангът ще бъде равен на две. Ако има поне един ненулев минор от 3-ти ред, тогава рангът на матрицата е най-малко три. И така нататък по аналогия.

Пример 2

Намерете ранга на матрицата:

A = - 1 1 - 1 - 2 0 2 2 6 0 - 4 4 3 11 1 - 7

Тъй като матрицата е различна от нула, нейният минимален ранг е единица.

Минорът от 2-ри ред - 1 1 2 2 = (- 1) × 2 - 1 × 2 = 4 е различно от нула. От това следва, че рангът на матрица A е най-малко две.

Сортираме минори от 3-ти ред: C 3 3 × C 5 3 = 1 5! 3! (5 - 3) ! = 10 броя.

1 1 - 1 2 2 6 4 3 11 = (- 1) × 2 × 11 + 1 × 6 × 4 + (- 1) × 2 × 3 - (- 1) × 2 × 4 - 1 × 2 × 11 - (- 1) × 6 × 3 = 0

1 - 1 - 2 2 6 0 4 11 1 = (- 1) × 6 × 1 + (- 1) × 0 × 4 + (- 2) × 2 × 11 - (- 2) × 6 × 4 - (- 1) × 2 × 1 - (- 1) × 0 × 11 = 0

1 1 - 2 2 2 0 4 3 1 = (- 1) × 2 × 1 + 1 × 0 × 4 + (- 2) × 2 × 3 - (- 2) × 2 × 4 - 1 × 2 × 1 - (- 1) × 0 × 3 = 0

1 - 1 0 2 6 - 4 4 11 - 7 = (- 1) × 6 × (- 7) + (- 1) × (- 4) × 4 + 0 × 2 × 11 - 0 × 6 × 4 - ( - 1) × 2 × (- 7) - (- 1) × (- 4) × 11 = 0

1 - 1 0 2 6 - 4 3 11 - 7 = 1 × 6 × (- 7) + (- 1) × (- 4) × 3 + 0 × 2 × 11 - 0 × 6 × 3 - (- 1) × 2 × (- 7) - 1 × (- 4) × 11 = 0

1 - 2 0 2 0 - 4 3 1 - 7 = 1 × 0 × (- 7) + (- 2) × (- 4) × 3 + 0 × 2 × 1 - 0 × 0 × 3 - (- 2) × 2 × (- 7) - 1 × (- 4) × 1 = 0

1 - 2 0 6 0 - 4 11 1 - 7 = (- 1) × 0 × (- 7) + (- 2) × (- 4) × 11 + 0 × 6 × 1 - 0 × 0 × 11 - ( - 2) × 6 × (- 7) - (- 1) × (- 4) × 1 = 0

Малките от 3-ти ред са равни на нула, така че рангът на матрицата е две.

Отговор : Ранг (A) = 2.

Намиране на ранга на матрица чрез метода на граничещите второстепенни

Определение 3

Граничен второстепенен метод - метод, който ви позволява да получите резултати с по-малко изчислителна работа.

Edge minor - второстепенно M o k (k + 1) от ти порядък на матрицата A, което граничи с второстепенното M от порядък k на матрицата A, ако матрицата, която съответства на второстепенното M o k, „съдържа“ матрицата, която съответства на малолетна М.

Просто казано, матрицата, която съответства на граничещия минор M, се получава от матрицата, съответстваща на граничещия минор M o k чрез изтриване на елементите от един ред и една колона.

Пример 3

Намерете ранга на матрицата:

A = 1 2 0 - 1 3 - 2 0 3 7 1 3 4 - 2 1 1 0 0 3 6 5

За да намерим ранга, вземаме минор от 2-ри ред M = 2 - 1 4 1

Записваме всички граничещи непълнолетни:

1 2 - 1 - 2 0 7 3 4 1 , 2 0 - 1 0 3 7 4 - 2 1 , 2 - 1 3 0 7 1 4 1 1 , 1 2 - 1 3 4 1 0 0 6 , 2 0 - 1 4 - 2 1 0 3 6 , 2 - 1 3 4 1 1 0 6 5 .

За да обосновем метода на граничещите минори, представяме теорема, чиято формулировка не изисква доказателство.

Теорема 1

Ако всички минори, граничещи с минор от k-ти порядък на матрица A от порядък p по n, са равни на нула, тогава всички минори от порядък (k+1) на матрицата A са равни на нула.

Алгоритъм на действията :

За да намерите ранга на една матрица, не е необходимо да минавате през всички второстепенни, просто погледнете граничните.

Ако граничещите минори са равни на нула, тогава рангът на матрицата е нула. Ако има поне един минор, който не е равен на нула, тогава считаме граничещи минори.

Ако всички те са нула, тогава ранг(A) е две. Ако има поне един ненулев граничен минор, тогава продължаваме да разглеждаме неговите граничещи минори. И така нататък по същия начин.

Пример 4

Намерете ранга на матрица, като използвате метода на второстепенните ребра

A = 2 1 0 - 1 3 4 2 1 0 - 1 2 1 1 1 - 4 0 0 2 4 - 14

Как да решим?

Тъй като елемент a 11 от матрица A не е равен на нула, вземаме минор от 1-ви порядък. Нека започнем да търсим граничещ минор, който е различен от нула:

2 1 4 2 = 2 × 2 - 1 × 4 = 0 2 0 4 1 = 2 × 1 - 0 × 4 = 2

Намерихме граничен минор от 2-ри ред, който не е равен на нула 2 0 4 1 .

Нека изброим граничещите минори - (има (4 - 2) × (5 - 2) = 6 броя).

2 1 0 4 2 1 2 1 1 = 0 ; 2 0 - 1 4 1 0 2 1 1 = 0 ; 2 0 3 4 1 - 1 2 1 - 4 = 0 ; 2 1 0 4 2 1 0 0 2 = 0 ; 2 0 - 1 4 1 0 0 2 4 = 0 ; 2 0 3 4 1 - 1 0 2 - 14 = 0

Отговор : Ранг(A) = 2.

Намиране на ранга на матрица по метода на Гаус (използвайки елементарни трансформации)

Нека си припомним какво представляват елементарните трансформации.

Елементарни трансформации:

• чрез пренареждане на редовете (колоните) на матрицата;
• чрез умножаване на всички елементи от всеки ред (колона) на матрицата по произволно ненулево число k;

чрез добавяне към елементите на всеки ред (колона) на елементи, които съответстват на друг ред (колона) от матрицата, които се умножават по произволно число k.

Определение 5

Намиране на ранга на матрица по метода на Гаус - метод, който се основава на теорията за еквивалентността на матрицата: ако матрица B се получава от матрица A с помощта на краен брой елементарни трансформации, тогава Rank(A) = Rank(B).

Валидността на това твърдение следва от определението на матрицата:

• Ако редовете или колоните на една матрица се пренаредят, нейният детерминант променя знака. Ако е равно на нула, то при пренареждане на редове или колони остава равно на нула;
• в случай на умножаване на всички елементи от всеки ред (колона) на матрицата с произволно число k, което не е равно на нула, детерминантата на получената матрица е равна на детерминантата на оригиналната матрица, която се умножава по k;

в случай на добавяне към елементите на определен ред или колона на матрица на съответните елементи от друг ред или колона, които се умножават по числото k, не променя своя детерминант.

Същността на метода на елементарните трансформации : редуцирайте матрицата, чийто ранг трябва да се намери, до трапецовидна, като използвате елементарни трансформации.

За какво?

Рангът на матрици от този тип е доста лесен за намиране. То е равно на броя редове, които имат поне един ненулев елемент. И тъй като рангът не се променя при извършване на елементарни трансформации, това ще бъде рангът на матрицата.

Нека илюстрираме този процес:

• за правоъгълни матрици A от ред p на n, чийто брой редове е по-голям от броя на колоните:

A ~ 1 b 12 b 13 ⋯ b 1 n - 1 b 1 n 0 1 b 23 ⋯ b 2 n - 2 b 2 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 1 b n - 1 n 0 0 0 ⋯ 0 1 0 0 0 ⋯ 0 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 0 0 , R a n k (A) = n

A ~ 1 b 12 b 13 ⋯ b 1 k b 1 k + 1 ⋯ b 1 n 0 1 b 23 ⋯ b 2 k b 2 k + 1 ⋯ b 2 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 1 b k k + 1 ⋯ b k n 0 0 0 ⋯ 0 0 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 0 0 ⋯ 0 , R a n k (A) = k

• за правоъгълни матрици A от ред p на n, чийто брой редове е по-малък от броя на колоните:

A ~ 1 b 12 b 13 ⋯ b 1 p b 1 p + 1 ⋯ b 1 n 0 1 b 23 ⋯ b 2 p b 2 p + 1 ⋯ b 2 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 1 b p p + 1 ⋯ b p n , R a n k (A) = p

A ~ 1 b 12 b 13 ⋯ b 1 k b 1 k + 1 ⋯ b 1 n 0 1 b 23 ⋯ b 2 k b 2 k + 1 ⋯ b 2 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 1 b k k + 1 ⋯ b k n 0 0 0 ⋯ 0 0 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 0 0 ⋯ 0

• за квадратни матрици A от ред n по n:

A ~ 1 b 12 b 13 ⋯ b 1 n - 1 b 1 n 0 1 b 23 ⋯ b 2 n - 1 b 2 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 1 b n - 1 n 0 0 0 ⋯ 0 1 , R a n k (A) = n

A ~ 1 b 12 b 13 ⋯ b 1 k b 1 k + 1 ⋯ b 1 n 0 1 b 23 ⋯ b 2 k b 2 k + 1 ⋯ b 2 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 1 b k k + 1 ⋯ b k n 0 0 0 ⋯ 0 0 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 0 0 ⋯ 0 , R a n k (A) = k , k< n

Пример 5

Намерете ранга на матрица A с помощта на елементарни трансформации:

A = 2 1 - 2 6 3 0 0 - 1 1 - 1 2 - 7 5 - 2 4 - 15 7 2 - 4 11

Как да решим?

Тъй като елемент a 11 е различен от нула, е необходимо да се умножат елементите на първия ред на матрицата A по 1 a 11 = 1 2:

A = 2 1 - 2 6 3 0 0 - 1 1 - 1 2 - 7 5 - 2 4 - 15 7 2 - 4 11 ~

Към елементите на 2-ри ред добавяме съответните елементи от 1-ви ред, които се умножават по (-3). Към елементите на 3-ти ред добавяме елементите на 1-ви ред, които се умножават по (-1):

~ A (1) = 1 1 2 - 1 3 3 0 0 - 1 1 - 1 2 - 7 5 - 2 4 - 15 7 2 - 4 11 ~ A (2) = = 1 1 2 - 1 3 3 + 1 (- 3) 0 + 1 2 (- 3) 0 + (- 1) (- 3) - 1 + 3 (- 3) 1 + 1 (- 3) - 1 + 1 2 (- 3) 2 + (- 1) (- 1) - 7 + 3 (- 1) 5 + 1 (- 5) - 2 + 1 2 (- 5) 4 + (- 1) (- 5) - 15 + 3 (- 5) 7 + 1 (- 7) 2 + 1 2 (- 7) - 4 + (- 1) (- 7) 11 + 3 (- 7) =

1 1 2 - 1 3 0 - 3 2 3 - 10 0 - 3 2 3 - 10 0 - 9 2 9 - 30 0 - 3 2 3 - 10

Елемент a 22 (2) е различен от нула, така че умножаваме елементите от втория ред на матрицата A по A (2) по 1 a 22 (2) = - 2 3:

A (3) = 1 1 2 - 1 3 0 1 - 2 20 3 0 - 3 2 3 - 10 0 - 9 2 9 - 30 0 - 3 2 3 - 10 ~ A (4) = 1 1 2 - 1 3 0 1 - 2 20 3 0 - 3 2 + 1 3 2 3 + (- 2) 3 2 - 10 + 20 3 × 3 2 0 - 9 2 + 1 9 2 9 + (- 2) 9 2 - 30 + 20 3 × 9 2 0 - 3 2 + 1 3 2 3 + (- 2) 3 2 - 10 + 20 3 × 3 2 = = 1 1 2 - 1 3 0 1 - 2 20 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

• Към елементите от 3-ти ред на получената матрица добавяме съответните елементи от 2-ри ред, които се умножават по 3 2;
• към елементите на 4-ти ред - елементите на 2-ри ред, които се умножават по 9 2;
• към елементите от 5-ти ред - елементите от 2-ри ред, които се умножават по 3 2.

Всички елементи на реда са нула. По този начин, използвайки елементарни трансформации, ние доведохме матрицата до трапецовидна форма, от която се вижда, че R an k (A (4)) = 2. От това следва, че рангът на оригиналната матрица също е равен на две.

Коментирайте

Ако извършвате елементарни трансформации, тогава приблизителните стойности не са разрешени!

Ако забележите грешка в текста, моля, маркирайте я и натиснете Ctrl+Enter

Рангът на матрицата е важна числена характеристика. Най-типичният проблем, който изисква намиране на ранга на матрица, е проверката на съгласуваността на система от линейни алгебрични уравнения. В тази статия ще дадем понятието за ранг на матрицата и ще разгледаме методите за намирането му. За да разберем по-добре материала, ще анализираме подробно решенията на няколко примера.

Навигация в страницата.

Определяне на ранга на матрица и необходими допълнителни понятия.

Преди да изразите дефиницията на ранга на матрица, трябва да имате добро разбиране на концепцията за минор, а намирането на минорите на матрица предполага способността да се изчисли детерминантата. Така че, ако е необходимо, ви препоръчваме да си припомните теорията на статията, методите за намиране на детерминанта на матрица и свойствата на детерминантата.

Нека вземем матрица A от порядък . Нека k е някакво естествено число, което не превишава най-малкото от числата m и n, т.е. .

Определение.

Малък k-ти редматрица A е детерминанта на квадратна матрица от ред, съставена от елементи на матрица A, които са разположени в предварително избрани k реда и k колони, като подредбата на елементите на матрица A се запазва.

С други думи, ако в матрицата A изтрием (p–k) редове и (n–k) колони, а от останалите елементи създадем матрица, като запазим подредбата на елементите на матрицата A, то детерминантата на получената матрица е второстепенна от порядъка k на матрицата A.

Нека да разгледаме дефиницията на матричен минор, използвайки пример.

Помислете за матрицата .

Нека запишем няколко минора от първи ред на тази матрица. Например, ако изберем третия ред и втората колона на матрица A, тогава нашият избор съответства на минор от първи ред . С други думи, за да получим този минор, задраскахме първия и втория ред, както и първата, третата и четвъртата колона от матрицата A и съставихме детерминанта от останалия елемент. Ако изберем първия ред и третата колона на матрица A, тогава получаваме минор .

Нека илюстрираме процедурата за получаване на разглежданите непълнолетни от първи ред
И .

По този начин минори от първи ред на една матрица са самите матрични елементи.

Нека покажем няколко второстепенни второстепенни. Изберете два реда и две колони. Например вземете първия и втория ред и третата и четвъртата колона. С този избор имаме минор от втори ред . Този минор може също да бъде съставен чрез изтриване на третия ред, първата и втората колона от матрица A.

Друг минор от втори ред на матрицата A е .

Нека илюстрираме конструкцията на тези второстепенни лица
И .

По подобен начин могат да бъдат намерени минори от трети ред на матрицата A. Тъй като в матрица A има само три реда, ние ги избираме всички. Ако изберем първите три колони от тези редове, получаваме минор от трети порядък

Може да се конструира и чрез задраскване на последната колона на матрицата A.

Друг минор от трети ред е

получен чрез изтриване на третата колона на матрица A.

Ето снимка, показваща изграждането на тези второстепенни елементи от трети ред
И .

За дадена матрица A няма второстепенни от порядък по-висок от трети, тъй като .

Колко минори от k-ти ред има на матрица A от ред?

Броят на минорите от ред k може да се изчисли като , където И - броят на комбинациите съответно от p до k и от n до k.

Как можем да конструираме всички минори от ред k на матрица A от ред p по n?

Ще ни трябват много номера на редове на матрицата и много номера на колони. Записваме всичко комбинации от p елементи по k(те ще съответстват на избраните редове от матрица A при конструиране на минор от порядък k). Към всяка комбинация от номера на редове последователно добавяме всички комбинации от n елемента от k номера на колони. Тези набори от комбинации от номера на редове и номера на колони на матрица A ще помогнат да се съставят всички второстепенни от порядък k.

Нека го разгледаме с пример.

Пример.

Намерете всички минори от втори ред на матрицата.

Решение.

Тъй като редът на оригиналната матрица е 3 на 3, тогава общият втори ред ще бъде .

Нека запишем всички комбинации от 3 до 2 числа на ред на матрица A: 1, 2; 1, 3 и 2, 3. Всички комбинации от 3 до 2 номера на колони са 1, 2; 1, 3 и 2, 3.

Нека вземем първия и втория ред на матрица А. Избирайки първата и втората колони, първата и третата колона, втората и третата колона за тези редове, получаваме респ.

За първия и третия ред, с подобен избор на колони, имаме

Остава да добавите първата и втората, първата и третата, втората и третата колони към втория и третия ред:

И така, всичките девет минора от втори ред на матрица A са намерени.

Сега можем да пристъпим към определяне на ранга на матрицата.

Определение.

Ранг на матрицатае най-високият порядък на ненулевия минор на матрицата.

Рангът на матрица A се означава като Rank(A) . Можете също да намерите обозначенията Rg(A) или Rang(A) .

От определенията за ранг на матрица и второстепенна матрица можем да заключим, че рангът на нулева матрица е равен на нула, а рангът на ненулева матрица е не по-малък от единица.

Намиране на ранга на матрица по дефиниция.

И така, първият метод за намиране на ранга на матрица е метод за изброяване на непълнолетни. Този метод се основава на определяне на ранга на матрицата.

Нека трябва да намерим ранга на матрица A от порядък .

Нека опишем накратко алгоритъмразрешаване на този проблем чрез изброяване на малолетни.

Ако има поне един елемент от матрицата, който е различен от нула, тогава рангът на матрицата е най-малко равен на единица (тъй като има второстепенен елемент от първи ред, който не е равен на нула).

След това разглеждаме минорите от втори ред. Ако всички минори от втори ред са равни на нула, тогава рангът на матрицата е равен на единица. Ако има поне един ненулев минор от втори ред, тогава продължаваме да изброяваме минорите от трети ред и рангът на матрицата е най-малко равен на две.

По същия начин, ако всички минори от трети ред са нула, тогава рангът на матрицата е две. Ако има поне един минор от трети ред, различен от нула, тогава рангът на матрицата е поне три и преминаваме към изброяване на минори от четвърти ред.

Имайте предвид, че рангът на матрицата не може да надвишава най-малкото от числата p и n.

Пример.

Намерете ранга на матрицата .

Решение.

Тъй като матрицата е ненулева, нейният ранг е не по-малък от единица.

Минор от втори ред е различно от нула, следователно рангът на матрица A е поне две. Преминаваме към изброяване на второстепенни лица от трети ред. Общо от тях нещата.

Всички минори от трети ред са равни на нула. Следователно рангът на матрицата е две.

Отговор:

Ранг(A) = 2 .

Намиране на ранга на матрица с помощта на метода на граничещите минори.

Има други методи за намиране на ранга на матрица, които ви позволяват да получите резултата с по-малко изчислителна работа.

Един такъв метод е edge minor метод.

Да се ​​справим с понятието ръб минор.

Казва се, че второстепенно M ok от (k+1)-ия ред на матрицата A граничи с второстепенно M от ред k на матрицата A, ако матрицата, съответстваща на второстепенното M ok, „съдържа“ матрицата, съответстваща на второстепенното М .

С други думи, матрицата, съответстваща на граничещия минор M, се получава от матрицата, съответстваща на граничещия минор M ok чрез изтриване на елементите на един ред и една колона.

Например, помислете за матрицата и вземете минор от втори ред. Нека запишем всички граничещи второстепенни:

Методът на граничещите минори е оправдан от следната теорема (представяме нейната формулировка без доказателство).

Теорема.

Ако всички минори, граничещи с минор от k-ти порядък на матрица A от порядък p по n, са равни на нула, тогава всички минори от порядък (k+1) на матрицата A са равни на нула.

По този начин, за да се намери рангът на матрица, не е необходимо да се преминава през всички второстепенни, които са достатъчно гранични. Броят на минорите, граничещи с минора от k-ти ред на матрица A от ред, се намира по формулата . Обърнете внимание, че няма повече минори, граничещи с минор от k-ти порядък на матрицата A, отколкото има (k + 1) минори от порядък на матрицата A. Следователно в повечето случаи използването на метода на граничещи непълнолетни е по-изгодно от простото изброяване на всички непълнолетни.

Нека да преминем към намиране на ранга на матрицата, използвайки метода на граничещите второстепенни. Нека опишем накратко алгоритъмтози метод.

Ако матрицата A е различна от нула, тогава като минор от първи ред приемаме всеки елемент от матрицата A, който е различен от нула. Нека да разгледаме неговите граничещи второстепенни. Ако всички те са равни на нула, тогава рангът на матрицата е равен на единица. Ако има поне един ненулев граничен минор (неговият ред е две), тогава пристъпваме към разглеждане на неговите граничещи минори. Ако всички те са нула, тогава Rank(A) = 2. Ако поне един граничен минор е различен от нула (редът му е три), тогава считаме неговите граничещи минори. И така нататък. В резултат на това Rank(A) = k, ако всички граничещи минори от (k + 1)-ия ред на матрицата A са равни на нула, или Rank(A) = min(p, n), ако има не- нулев минор, граничещ с минор от порядък (min( p, n) – 1) .

Нека да разгледаме метода за ограждане на второстепенни, за да намерим ранга на матрица, използвайки пример.

Пример.

Намерете ранга на матрицата по метода на граничещи непълнолетни.

Решение.

Тъй като елемент a 1 1 от матрица A е различен от нула, ние го приемаме като минор от първи ред. Нека започнем да търсим граничещ минор, който е различен от нула:

Намира се минор на ребра от втори ред, различен от нула. Нека да разгледаме неговите граничещи непълнолетни (техните неща):

Всички минори, граничещи с минор от втори ред, са равни на нула, следователно рангът на матрица A е равен на две.

Отговор:

Ранг(A) = 2 .

Пример.

Намерете ранга на матрицата използване на гранични непълнолетни.

Решение.

Като ненулев минор от първи ред приемаме елемента a 1 1 = 1 от матрицата A. Околният минор от втори ред не е равно на нула. Този минор граничи с минор от трети ред
. Тъй като тя не е равна на нула и за нея няма нито един граничен минор, рангът на матрица A е равен на три.

Отговор:

Ранг(A) = 3 .

Намиране на ранга чрез елементарни матрични трансформации (метод на Гаус).

Нека разгледаме друг начин за намиране на ранга на матрица.

Следните матрични трансформации се наричат ​​елементарни:

• пренареждане на редове (или колони) на матрица;
• умножаване на всички елементи от всеки ред (колона) на матрица по произволно число k, различно от нула;
• добавяне към елементите на ред (колона) на съответните елементи от друг ред (колона) на матрицата, умножени по произволно число k.

Матрица B се нарича еквивалентна на матрица A, ако B се получава от A с помощта на краен брой елементарни трансформации. Еквивалентността на матриците се обозначава със символа "~", т.е. написана A ~ B.

Намирането на ранга на матрица с помощта на елементарни матрични трансформации се основава на твърдението: ако матрица B е получена от матрица A с помощта на краен брой елементарни трансформации, тогава Rank(A) = Rank(B) .

Валидността на това твърдение следва от свойствата на детерминантата на матрицата:

• При пренареждане на редовете (или колоните) на матрицата нейният детерминант променя знака. Ако е равно на нула, то при пренареждане на редовете (колоните) остава равно на нула.
• При умножаване на всички елементи от всеки ред (колона) на матрица с произволно число k, различно от нула, детерминантата на получената матрица е равна на детерминантата на оригиналната матрица, умножена по k. Ако детерминантата на оригиналната матрица е равна на нула, тогава след умножаване на всички елементи от всеки ред или колона по числото k, детерминантата на получената матрица също ще бъде равна на нула.
• Добавянето към елементите на определен ред (колона) на матрица на съответните елементи от друг ред (колона) на матрицата, умножени по определено число k, не променя нейния детерминант.

Същността на метода на елементарните трансформациисе състои в намаляване на матрицата, чийто ранг трябва да намерим, до трапецовидна (в частен случай до горна триъгълна) с помощта на елементарни трансформации.

Защо се прави това? Рангът на матрици от този тип е много лесен за намиране. Той е равен на броя редове, съдържащи поне един ненулев елемент. И тъй като рангът на матрицата не се променя при извършване на елементарни трансформации, получената стойност ще бъде рангът на оригиналната матрица.

Даваме илюстрации на матрици, една от които трябва да се получи след трансформации. Появата им зависи от реда на матрицата.

Тези илюстрации са шаблони, към които ще трансформираме матрицата A.

Нека опишем алгоритъм на метода.

Нека трябва да намерим ранга на ненулева матрица A от порядък (p може да бъде равно на n).

Така, . Нека умножим всички елементи от първия ред на матрица A по . В този случай получаваме еквивалентна матрица, обозначавайки я A (1):

Към елементите от втория ред на получената матрица A (1) добавяме съответните елементи от първия ред, умножени по . Към елементите на третия ред добавяме съответните елементи на първия ред, умножени по . И така до p-тия ред. Нека получим еквивалентна матрица, обозначим я с A (2):

Ако всички елементи на получената матрица, разположени в редове от втория до p-тия, са равни на нула, тогава рангът на тази матрица е равен на единица и следователно рангът на оригиналната матрица е равен до един.

Ако редовете от втория до p-тия съдържат поне един ненулев елемент, тогава продължаваме да извършваме трансформации. Освен това действаме по абсолютно същия начин, но само с отбелязаната на фигурата част от матрица A (2).

Ако , тогава пренареждаме редовете и (или) колоните на матрица A (2), така че „новият“ елемент да стане различен от нула.

Ранг на матрицатасе нарича най-големият ред на своите ненулеви минори. Рангът на матрицата се означава с или.

Ако всички минори от порядъка на дадена матрица са равни на нула, тогава всички минори от по-висок порядък на дадена матрица също са равни на нула. Това следва от дефиницията на детерминантата. Това предполага алгоритъм за намиране на ранга на матрица.

Ако всички минори от първи ред (матрични елементи) са равни на нула, тогава . Ако поне един от минори от първи ред е различен от нула и всички минори от втори ред са равни на нула, тогава . Нещо повече, достатъчно е да разгледаме само тези минори от втори ред, които граничат с ненулев минор от първи ред. Ако има минор от втори ред, различен от нула, разгледайте минорите от трети ред, граничещи с ненулевия минор от втори ред. Това продължава, докато стигнат до един от двата случая: или всички минори от ред , граничещи с ненулев минор от ти ред, са равни на нула, или няма такива минори. Тогава .

Пример 10. Изчислете ранга на матрица.

Първият минор (елемент) е различен от нула. Минорът около него също не е равен на нула.

Всички тези минори са равни на нула, което означава .

Даденият алгоритъм за намиране на ранга на матрица не винаги е удобен, тъй като е свързан с изчисляването на голям брой детерминанти. При изчисляване на ранга на матрица е най-удобно да се използват елементарни трансформации, с помощта на които матрицата се редуцира до толкова проста форма, че да е очевидно какъв е нейният ранг.

Елементарни матрични трансформацииСледните трансформации се наричат:

Ø умножаване на ред (колона) от матрица с число, различно от нула;

Ø добавяне към един ред (колона) на друг ред (колона), умножен по произволно число.

Полужордановтрансформиране на матричните редове:

с разрешаващ елемент е следният набор от трансформации с матрични редове:

Ø добавете th към първия ред, умножено по числото и т.н.;

Ø на последния ред добавете yu, умножено по числото.

Полу-Джорданова трансформация на матрични колонис разрешаващ елемент е следният набор от трансформации с матрични колони:

Ø добавете th към първата колона, умножено по числото и т.н.;

Ø добавете th към последната колона, умножено по числото.

След извършване на тези трансформации се получава матрицата:

Полу-Джорданова трансформация на редовете или колоните на квадратна матрица не променя детерминантата ѝ.

Елементарните преобразувания на матрицата не променят нейния ранг. Нека покажем чрез пример как да изчислим ранга на матрица с помощта на елементарни трансформации. редове (колони) са линейно зависими.

Определение. Ранг на матрицатае максималният брой линейно независими редове, считани за вектори.

Теорема 1 за ранга на матрицата. Ранг на матрицатасе нарича максимален ред на ненулев минор на матрица.

Вече обсъдихме понятието минор в урока за детерминантите и сега ще го обобщим. Нека вземем определен брой редове и определен брой колони в матрицата и това „колко“ трябва да е по-малко от броя на редовете и колоните на матрицата, а за редовете и колоните това „колко“ трябва да бъде същия номер. Тогава в пресечната точка на колко реда и колко колони ще има матрица от по-нисък порядък от оригиналната ни матрица. Детерминантата е матрица и ще бъде минор от k-ти порядък, ако споменатото „някои“ (броят редове и колони) се означи с k.

Определение.Незначителен ( r+1) ред, в рамките на който се намира избраният минор r-ти ред се нарича граничен за даден минор.

Двата най-често използвани метода са намиране на ранга на матрицата. Това начин на граничене на малолетниИ метод на елементарни трансформации(Метод на Гаус).

Когато се използва методът на граничещите минори, се използва следната теорема.

Теорема 2 за ранга на матрицата.Ако минор може да бъде съставен от матрични елементи rти ред, не е равен на нула, тогава рангът на матрицата е равен на r.

Когато се използва методът на елементарна трансформация, се използва следното свойство:

Ако чрез елементарни трансформации се получи трапецовидна матрица, която е еквивалентна на оригиналната, тогава ранг на тази матрицае броят на редовете в него, различни от редовете, състоящи се изцяло от нули.

Намиране на ранга на матрица с помощта на метода на граничещите второстепенни

Ограждащият минор е минор от по-висок порядък спрямо дадения, ако този минор от по-висок порядък съдържа дадения минор.

Например, като се има предвид матрицата

Да вземем непълнолетен

Граничните непълнолетни ще бъдат:

Алгоритъм за намиране ранга на матрицаследващия.

1. Намерете минори от втори ред, които не са равни на нула. Ако всички минори от втори ред са равни на нула, тогава рангът на матрицата ще бъде равен на едно ( r =1 ).

2. Ако има поне един минор от втори ред, който не е равен на нула, тогава съставяме граничещите минори от трети ред. Ако всички граничещи минори от трети ред са равни на нула, тогава рангът на матрицата е равен на две ( r =2 ).

3. Ако поне един от граничещите минори от трети ред не е равен на нула, тогава съставяме граничещите минори. Ако всички граничещи малки от четвърти ред са равни на нула, тогава рангът на матрицата е равен на три ( r =2 ).

4. Продължете по този начин, докато размерът на матрицата позволява.

Пример 1.Намерете ранга на матрица

.

Решение. Минор от втори ред .

Нека го ограничим. Ще има четири граничещи непълнолетни:

,

,

По този начин всички граничещи второстепенни лица от трети ред са равни на нула, следователно рангът на тази матрица е равен на две ( r =2 ).

Пример 2.Намерете ранга на матрица

Решение. Рангът на тази матрица е равен на 1, тъй като всички минори от втори ред на тази матрица са равни на нула (в това, както в случаите на граничещи минори в следващите два примера, скъпи студенти са поканени да проверят за себе си, може би използвайки правилата за изчисляване на детерминанти), а сред второстепенните от първи ред, тоест сред елементите на матрицата, има ненулеви.

Пример 3.Намерете ранга на матрица

Решение. Минорът от втори ред на тази матрица е и всички минори от трети ред на тази матрица са равни на нула. Следователно рангът на тази матрица е две.

Пример 4.Намерете ранга на матрица

Решение. Рангът на тази матрица е 3, тъй като единственият минор от трети ред на тази матрица е 3.

Намиране на ранга на матрица чрез метода на елементарните трансформации (метод на Гаус)

Още в пример 1 е ясно, че задачата за определяне на ранга на матрица, използвайки метода на граничещи второстепенни, изисква изчисляването на голям брой детерминанти. Има обаче начин да намалите обема на изчисленията до минимум. Този метод се основава на използването на елементарни матрични трансформации и се нарича още метод на Гаус.

Следните операции се разбират като елементарни матрични трансформации:

1) умножаване на всеки ред или колона от матрица с число, различно от нула;

2) добавяне към елементите на всеки ред или колона от матрицата на съответните елементи на друг ред или колона, умножени по същото число;

3) размяна на два реда или колони на матрицата;

4) премахване на „нулеви“ редове, тоест тези, чиито елементи са равни на нула;

5) изтриване на всички пропорционални линии с изключение на една.

Теорема.По време на елементарно преобразуване рангът на матрицата не се променя. С други думи, ако използваме елементарни трансформации от матрицата Аотиде в матрицата б, Че .

>> Ранг на матрицата

Ранг на матрицата

Определяне на ранга на матрица

Помислете за правоъгълна матрица. Ако в тази матрица изберем произволно клинии и кколони, тогава елементите в пресечната точка на избраните редове и колони образуват квадратна матрица от k-ти ред. Детерминантата на тази матрица се нарича минор от k-ти редматрица A. Очевидно матрица A има второстепенни от всякакъв ред от 1 до най-малкото от числата m и n. Сред всички ненулеви минори на матрицата A има поне един минор, чийто ред е най-голям. Най-големият от ненулевите второстепенни поръчки на дадена матрица се нарича рангматрици. Ако рангът на матрица А е r, това означава, че матрица A има ненулев минор от ред r, но всеки минор от порядък по-голям от r, е равно на нула. Рангът на матрица A се означава с r(A). Очевидно връзката е в сила

Изчисляване на ранга на матрица с помощта на минори

Рангът на матрицата се намира или чрез метода на граничните второстепенни, или чрез метода на елементарните трансформации. Когато изчислявате ранга на матрица, като използвате първия метод, трябва да преминете от минори от по-нисък порядък към минори от по-висок порядък. Ако минор D от k-ти ред на матрицата A, различен от нула, вече е намерен, тогава само (k+1) минорите от порядъка, граничещи с минор D, изискват изчисление, т.е. съдържащ го като второстепенен. Ако всички те са равни на нула, тогава рангът на матрицата е к.

Пример 1.Намерете ранга на матрицата, като използвате метода на граничещите второстепенни

.

Решение.Започваме с минори от 1-ви ред, т.е. от елементите на матрица A. Да изберем например минор (елемент) M 1 = 1, намиращ се в първия ред и първата колона. Ограничавайки с помощта на втория ред и третата колона, получаваме второстепенно M 2 = различно от нула. Сега се обръщаме към минори от 3-ти ред, граничещи с M2. Има само две от тях (можете да добавите втора или четвърта колона). Нека ги изчислим: = 0. Така всички граничещи минори от трети ред се оказват равни на нула. Рангът на матрица A е две.

Изчисляване на ранга на матрица чрез елементарни трансформации

ЕлементарноСледните матрични трансформации се наричат:

1) пермутация на всеки два реда (или колони),

2) умножаване на ред (или колона) с различно от нула число,

3) добавяне към един ред (или колона) на друг ред (или колона), умножен по определено число.

Двете матрици се наричат еквивалентен, ако едното от тях се получава от другото чрез краен набор от елементарни трансформации.

Най-общо казано, еквивалентните матрици не са равни, но ранговете им са равни. Ако матриците A и B са еквивалентни, тогава се записва, както следва: A~Б.

КанониченМатрицата е матрица, в която в началото на главния диагонал има няколко подред (числото на които може да бъде нула), а всички останали елементи са равни на нула, например

.

Използвайки елементарни трансформации на редове и колони, всяка матрица може да бъде намалена до канонична. Рангът на каноничната матрица е равен на броя единици на нейния главен диагонал.

Пример 2Намерете ранга на матрица

А=

и го приведе в каноничен вид.

Решение.От втория ред извадете първия и пренаредете тези редове:

.

Сега от втория и третия ред изваждаме първия, умножен съответно по 2 и 5:

;

извадете първия от третия ред; получаваме матрица

B = ,

което е еквивалентно на матрица A, тъй като се получава от нея с помощта на краен набор от елементарни трансформации. Очевидно рангът на матрица B е 2 и следователно r(A)=2. Матрица B може лесно да се редуцира до канонична. Чрез изваждане на първата колона, умножена по подходящи числа, от всички следващи, обръщаме към нула всички елементи на първия ред, с изключение на първия, а елементите на останалите редове не се променят. След това, изваждайки втората колона, умножена по подходящи числа, от всички следващи, обръщаме към нула всички елементи на втория ред, с изключение на втория, и получаваме каноничната матрица:

.