Каква е хипотенузата в триъгълник? Как да намерите хипотенуза, знаейки крака и ъгъла

Ръководство за употреба

Свързани видеоклипове

Обърнете внимание

При изчисляване на страните на десен триъгълник знанията за неговите характеристики могат да играят:
1) Ако кракът на правия ъгъл лежи срещу ъгъла от 30 градуса, тогава той е равен на половината от хипотенузата;
2) Хипотенузата винаги е по-дълга от всеки от краката;
3) Ако е описан кръг около десен триъгълник, то неговият център трябва да лежи в средата на хипотенузата.

Хипотенузата е страна в десен триъгълник, която е срещу ъгъл от 90 градуса. За да се изчисли дължината му, достатъчно е да се знае дължината на един от краката и размера на един от острите ъгли на триъгълника.

Ръководство за употреба

Уведомете ни единия крак и ъгъла в съседство с него. За определеност нека бъде крак | AB | и ъгъл α. Тогава можем да използваме формулата за тригонометричното съотношение косинус - косинус на съседния крак към. Т.е. в нашата представа, cos α \u003d | AB | / | AC |. От тук получаваме дължината на хипотенузата | AC | \u003d | AB | / cos α.
Ако знаем крака | BC | и ъгъл α, тогава използваме формулата, за да изчислим синуса на ъгъла - синусът на ъгъла е равен на съотношението на противоположната страна към хипотенузата: sin α \u003d | BC | / | AC |. Получаваме, че дължината на хипотенузата се намира като | AC | \u003d | Пр. Н. Е. | / cos α.

За по-голяма яснота, помислете за пример. Нека дължината на крака | AB | \u003d 15. И ъгълът α \u003d 60 °. Получаваме | AC | \u003d 15 / cos 60 ° \u003d 15 / 0,5 \u003d 30.
Помислете как можете да проверите резултата си, използвайки теоремата на Питагор. За да направим това, трябва да изчислим дължината на втория крак | BC |. Използвайки формулата за допирателната на ъгъла tan α \u003d | BC | / | AC |, получаваме | BC | \u003d | AB | * tg α \u003d 15 * tg 60 ° \u003d 15 * √3. След това прилагаме теорията на Питагор, получаваме 15 ^ 2 + (15 * √3) ^ 2 \u003d 30 ^ 2 \u003d\u003e 225 + 675 \u003d 900. Проверката е завършена.

Полезни съвети

След като изчислите хипотенузата, проверете дали получената стойност удовлетворява Питагоровата теорема.

източници:

Prime маса от 1 до 10 000

катет те наричат \u200b\u200bдве къси страни на правоъгълен триъгълник, съставляващи върха му, чиято стойност е 90 °. Третата страна в такъв триъгълник се нарича хипотенуза. Всички тези страни и ъгли на триъгълника са свързани помежду си чрез определени отношения, които ви позволяват да изчислите дължината на крака, ако са известни няколко други параметъра.

Ръководство за употреба

Използвайте теоремата на Питагор за крак (A), ако е известна дължината на другите две страни (B и C) на десния триъгълник. Тази теорема гласи, че сборът от дължини на квадратите на краката е равен на квадрата на хипотенузата. От това следва, че дължината на всеки крак е равна на квадратния корен от дължините на хипотенузата и на втория крак: A \u003d √ (C²-B²).

Използвайте определението за директната тригонометрична функция „синус“ за остър ъгъл, ако стойността на ъгъла (α), разположен срещу изчисления крак, и дължината на хипотенузата (С) са известни. Това твърди, че синусът на това известно съотношение е дължината на желания крак и дължината на хипотенузата. Това е, че дължината на желания крак е равна на произведението на дължината на хипотенузата по синуса на известния ъгъл: A \u003d C ∗ sin (α). За същите известни стойности можете да използвате сексанта и да изчислите желаната дължина, като разделите дължината на хипотенузата на косантанта на известния ъгъл A \u003d C / cosec (α).

Призовете определянето на директната тригонометрична функция на косинуса, ако в допълнение към дължината на хипотенузата (С) е известна и стойността на острия ъгъл (β), съседен на желания. Косинусът на този ъгъл е съотношението на дължината на желания крак и хипотенузата и от това можем да заключим, че дължината на крака е равна на произведението на дължината на хипотенузата от косинуса на известния ъгъл: A \u003d C ∗ cos (β). Можете да използвате определението на секантната функция и да изчислите желаната стойност, като разделите дължината на хипотенузата на секанта на известния ъгъл A \u003d C / sec (β).

Извлечете желаната формула от подобно определение за производната на тригонометричната функция на допирателната, ако в допълнение към острия ъгъл (α), разположен срещу желания крак (A), е известна дължината на втория крак (B). Тангентата на ъгъла срещу желания крак е съотношението на дължината на този крак към дължината на втория крак. Следователно търсената стойност ще бъде равна на произведението на дължината на известния крак с тангентата на известния ъгъл: A \u003d B ∗ tg (α). Друга формула може да се извлече от същите известни количества, ако използваме определението на котангенсната функция. В този случай, за да се изчисли дължината на крака, ще е необходимо да се намери съотношението на дължината на известния крак към котангента на известния ъгъл: A \u003d B / ctg (α).

Свързани видеоклипове

Думата "катет" дойде на руски от гръцки. В точен превод означава отвесна линия, тоест перпендикулярна на повърхността на земята. В математиката краката, които образуват прав ъгъл на прав триъгълник, се наричат \u200b\u200bкрака. Страната срещу този ъгъл се нарича хипотенуза. Терминът „крак“ се използва също в архитектурата и заваръчната технология.

Секантът на този ъгъл се получава чрез разделяне на хипотенузата на съседния крак, т.е. secCAB \u003d c / b. Оказва се обратната на косинуса, тоест може да бъде изразена с формулата secCAB \u003d 1 / cosSAB.
Съгласието е равно на коефициента на разделяне на хипотенузата на противоположния крак и това е реципрочността на синуса. Може да се изчисли по формулата cosecCAB \u003d 1 / sinCAB

И двата крака са взаимосвързани и контактен. В този случай допирателната ще бъде съотношението на страна a към страна b, тоест срещуположния крак към съседния. Това съотношение може да бъде изразено с формулата tgCAB \u003d a / b. Съответно коефициентът е обратното съотношение: ctgCAB \u003d b / a.

Съотношението между размера на хипотенузата и двата крака се определя от древногръцкия Питагор. Хората все още използват теоремата, нейното име. Тя казва, че квадратът на хипотенузата е равен на сумата от квадратите на краката, т.е. c2 \u003d a2 + b2. Съответно всеки крак ще бъде равен на квадратния корен на разликата на квадратите на хипотенузата и другия крак. Тази формула може да бъде записана като b \u003d √ (c2-a2).

Дължината на крака може да се изрази и чрез отношенията, които познавате. Според теоремите за синусите и косинусите кракът е равен на произведението на хипотенузата по една от тези функции. Можете да го изразите или cotangent. Катет а може да бъде намерен например по формулата a \u003d b * tan CAB. По абсолютно същия начин, в зависимост от дадената тангента или, вторият крак също се определя.

Терминът "крак" се използва и в архитектурата. Прилага се върху йонните капители и се спуска през средата на опашката му. Тоест в този случай този термин е перпендикулярен на дадена права.

В технологията на заваряване има "филе заварка". Както и в други случаи, това е най-краткото разстояние. Тук говорим за празнината между една от частите, които трябва да бъдат заварени до границата на шева, разположен на повърхността на другата част.

Свързани видеоклипове

източници:

какво е крак и хипотенуза през 2019г

"И ни казват, че катетърът е по-къс от хипотенузата ..." Тези редове от известната песен, прозвучали в игралния филм "Приключенията на електрониката", са наистина верни в евклидовата геометрия. В крайна сметка краката са две страни, които образуват ъгъл, чиято степен на измерване е 90 градуса. А хипотенузата е най-дългата „опъната“ страна, която свързва два крака перпендикулярно един на друг и лежи противоположно на правилния ъгъл. Ето защо хипотенузата на краката може да бъде открита само в правоъгълен триъгълник и ако кракът е бил по-дълъг от хипотенузата, тогава такъв триъгълник не би съществувал.

Как да открием хипотенузата по теоремата на Питагор, ако са известни и двата крака

Теоремата казва, че квадратът на хипотенузата не е нищо повече от сбора от квадратите на краката: x ^ 2 + y ^ 2 \u003d z ^ 2, където:

x е първият крак;
y е вторият крак;
z - хипотенуза.

Но просто трябва да намерите хипотенузата, а не нейния квадрат. За да направите това, извлечете корена.

Алгоритъмът за намиране на хипотенуза в два добре познати крака:

Определете сами къде са краката и къде е хипотенузата.
Квадрат на първия крак.
Квадратирайте втория крак.
Добавете получените стойности.
Извадете корена от числото, получено в стъпка 4.

Как да открием хипотенузата през синуса, ако кракът и острият ъгъл лежи срещу него са известни

Отношението на познатия крак към острия ъгъл, разположен срещу него, е равно на величината на хипотенузата: a / sin A \u003d c. Това е следствие от дефиницията на синуса:

Отношението на противоположната страна към хипотенузата: sin A \u003d a / s, където:

а е първият крак;
А е остър ъгъл срещу крака;
c- хипотенуза.

Алгоритъм за намиране на хипотенузата по синусовата теорема:

Определете за себе си познат крак и противоположния ъгъл.
Разделете крака в противоположния ъгъл.
Вземете хипотенуза.

Как да открием хипотенузата чрез косинус, ако кракът и острият ъгъл в съседство с него са известни

Отношението на познатия крак към острия съседен ъгъл е равно на хипотенузата a / cos B \u003d c. Това е следствие от дефиницията на косинус: съотношението на прилежащия крак към хипотенузата: cos B \u003d a / s, където:

a е вторият крак;
В - остър ъгъл, съседен на втория крак;
c- хипотенуза.

Алгоритъмът за намиране на хипотенузата от косинусната теорема:

Определете добре познат крак и прилежащ ъгъл.
Разделете крака в съседния ъгъл.
Вземете хипотенуза.

Как да намерите хипотенуза с помощта на „Египетския триъгълник“

Египетският триъгълник е тройка от числа, знаейки кои можете да спестите време, за да намерите хипотенузата или дори друг непознат крак. Триъгълникът има такова име, тъй като в Египет някои числа символизирали Боговете и били основа за изграждането на пирамидите и други различни структури.

Първите три числа: 3-4-5. Краката са равни на 3 и 4. Тогава хипотенузата ще бъде равна на 5. Проверка: (9 + 16 \u003d 25).
Вторите три числа: 5-12-13. Тук също краката са 5 и 12. Следователно хипотенузата ще е 13. Проверете: (25 + 144 \u003d 169).

Такива числа помагат дори когато са разделени или умножени по всяко едно число. Ако краката са 3 и 4, тогава хипотенузата ще бъде 5. Ако умножите тези числа по 2, тогава хипотенузата ще се умножи по 2. Например, тройката на числата 6-8-10 също ще отговаря на питагорейската теорема и не можете да изчислите хипотенузата, ако запомнете такива тройки от числа.

По този начин има 4 начина за намиране на хипотенуза от известни катети. Най-добрият вариант е Питагоровата теорема, но би било хубаво да запомните и тройните числа, съставляващи „египетския триъгълник“, защото можете да спестите много време, ако попаднете на такива стойности.

Ръководство за употреба

Нека е известен един от краката на десен триъгълник. Да приемем | BC | \u003d b. Тогава можем да използваме Питагоровата теорема, според хипотенузата тя е равна на сумата от квадратите на краката: a ^ 2 + b ^ 2 \u003d c ^ 2. От това уравнение намираме непознатия крак | AB | \u003d a \u003d √ (c ^ 2 - b ^ 2).

Нека се познае един от ъглите на десен триъгълник, да предположим, че ∟α. Тогава AB и BC на десния триъгълник ABC могат да бъдат намерени с помощта на тригонометрични функции. Така получаваме: синусът ∟α е равен на съотношението на противоположната страна на крака sin α \u003d b / c, косинусът ∟α е равен на съотношението на съседната страна към хипотенузата cos α \u003d a / c. От тук намираме необходимите дължини на страните: | AB | \u003d a \u003d c * cos α, | BC | \u003d b \u003d c * sin α.

Да предположим, че съотношението на краката е k \u003d a / b. Ние също решаваме проблема, използвайки тригонометрични функции. Отношението a / b е нищо друго освен котангента ∟α: на съседния крак ctg α \u003d a / b. В този случай от това равенство изразяваме a \u003d b * ctg α. И заместваме a ^ 2 + b ^ 2 \u003d c ^ 2 в теорията на Питагора:

b ^ 2 * ctg ^ 2 α + b ^ 2 \u003d c ^ 2. Поставяйки b ^ 2 от скобите, получаваме b ^ 2 * (ctg ^ 2 α + 1) \u003d c ^ 2. И от тук лесно получаваме дължината на крака b \u003d c / √ (ctg ^ 2 α + 1) \u003d c / √ (k ^ 2 + 1), където k е даденото съотношение на краката.

По аналогия, ако съотношението на краката b / a е известно, решаваме проблема, използвайки допирателния тен α \u003d b / a. Заместваме стойността b \u003d a * tg α в теоремата на Питагора a ^ 2 * tg ^ 2 α + a ^ 2 \u003d c ^ 2. Следователно a \u003d c / √ (tg ^ 2 α + 1) \u003d c / √ (k ^ 2 + 1), където k е даденото съотношение на краката.

Помислете за специални случаи.

∟α \u003d 30 °. Тогава | AB | \u003d a \u003d c * cos α \u003d c * √3 / 2; | Пр. Н. Е. | \u003d b \u003d c * sin α \u003d c / 2.

∟α \u003d 45 °. Тогава | AB | \u003d | Пр. Н. Е. | \u003d a \u003d b \u003d c * √2 / 2.

Свързани видеоклипове

Обърнете внимание

Квадратните корени се извличат с положителен знак, защото length не може да бъде отрицателна стойност. Това изглежда очевидно, но тази грешка е много често, ако решите проблема на машината.

Полезни съвети

За да намерите краката на десен триъгълник е удобно да използвате редукционните формули: sin β \u003d sin (90 ° - α) \u003d cos α; cos β \u003d cos (90 ° - α) \u003d sin α.

източници:

Брадис таблици за намиране на стойности на тригонометрични функции

Отношенията между страните и ъглите на десен триъгълник се разглеждат в раздел от математиката, наречен тригонометрия. За да намерите страните на правоъгълен триъгълник, достатъчно е да знаете теоремата на Питагор, дефиницията на тригонометричните функции и да имате някои средства за намиране на стойностите на тригонометричните функции, например калкулатор или таблица на Брадис. Разглеждаме по-долу основните случаи на намиране на страните на десен триъгълник.

Ще ви трябва

Калкулатор, Брадис таблица.

Ръководство за употреба

Ако имате един от острите ъгли, например, А, и хипотенузата, краката могат да бъдат намерени от определенията на основните тригонометрични:

a \u003d c * sin (A), b \u003d c * cos (A).

Ако е даден един от острите ъгли, например A, и един от краката, например, a, тогава хипотенузата и другият крак се изчисляват от отношенията: b \u003d a * tg (A), c \u003d a * sin (A).

Полезни съвети

В случай, че не знаете стойността на синуса или косинуса на някой от ъглите, необходими за изчисляване, можете да използвате таблиците на Брадис, те дават стойностите на тригонометричните функции за голям брой ъгли. Освен това повечето съвременни калкулатори са в състояние да изчислят синусите и косинусите на ъглите.

източници:

как да изчислим страната на десен триъгълник през 2019г

Съвет 3: Как да намерите ъгъла, ако са известни страните на десен триъгълник

Tre лакът, един от ъглите на който е прав (равен на 90 °), се нарича правоъгълен. Най-дългата му страна винаги лежи срещу прав ъгъл и се нарича хипотенуза, а другите две страните наречени крака. Ако дължините на тези три страни са известни, тогава намерете стойностите на всички ъгли лакъти не е трудно, тъй като всъщност трябва да изчислите само един от ъглите. Има няколко начина за това.

Ръководство за употреба

Използвайте, за да определите стойностите на (α, β, γ), за да определите тригонометричните функции чрез правоъгълна тава. Такава е например за синуса на остър ъгъл като съотношението на дължината на противоположния крак към дължината на хипотенузата. Следователно, ако дължините на краката (A и B) и хипотенузата (C), тогава, например, можем да намерим синуса на ъгъла α, разположен срещу крака A, като разделим дължината страните И за дължината страните C (хипотенуза): sin (α) \u003d A / C. След като научихте стойността на синуса на този ъгъл, можете да намерите неговата стойност в градуси, като използвате обратната функция на синуса - дъгата. Тоест, α \u003d arcsin (sin (α)) \u003d arcsin (A / C). По същия начин можете да намерите стойността на острия ъгъл в лакътд, но това не е необходимо. Тъй като сумата от всички ъгли на лакътa е 180 °, а в тре лакътако един от ъглите е 90 °, тогава стойността на третия ъгъл може да се изчисли като разликата между 90 ° и стойността на намерения ъгъл: β \u003d 180 ° -90 ° -α \u003d 90 ° -α.

Вместо да определите синуса, можете да използвате определението на косинуса на остър ъгъл, което се формулира като съотношение на дължината на крака, съседен на желания ъгъл, към дължината на хипотенузата: cos (α) \u003d B / C. И тук използвайте обратната тригонометрична функция (аркозин), за да намерите ъгъла в градуси: α \u003d arccos (cos (α)) \u003d arccos (B / C). След това, както и в предишната стъпка, остава да намерим стойността на липсващия ъгъл: β \u003d 90 ° -α.

Можете да използвате същата тангента - тя се изразява чрез съотношението на дължината на противоположната страна на желания крак на крака към дължината на съседния крак: tg (α) \u003d A / B. Ъгълът в градуси отново се определя чрез обратната тригонометрична функция -: α \u003d arctan (tan (α)) \u003d arctan (A / B). Формулата за величината на липсващия ъгъл остава непроменена: β \u003d 90 ° -α.

Свързани видеоклипове

Съвет 4: Как да намерите страничната дължина на десен триъгълник

Триъгълник се счита за прав ъгъл, в който един от ъглите на линията. страна триъгълникасрещу правия ъгъл се нарича хипотенуза, а другите две страните - крака. За да намерите дължините на страните на правоъгълник триъгълника, можете да използвате няколко метода.

Ръководство за употреба

Можете да разберете третата странитезнаейки дължините на другите две страни триъгълника, Това може да стане с помощта на Питагоровата теорема, която гласи, че квадратът на правоъгълник триъгълника сумата от квадратите на краката му. (a² \u003d b² + c²). От тук можем да изразим дължините на всички страни на правоъгълник триъгълника:
b² \u003d a² - c²;
c² \u003d a² - b²
Например правоъгълна триъгълника са известни дължината на хипотенузата a (18 cm) и един от краката, например c (14 cm). че дължина на друг крак, се изискват 2 алгебрични действия:
s² \u003d 18² - 14² \u003d 324 - 196 \u003d 128 cm
c \u003d √128 cm
Отговор: дължината на крака е √128 см или приблизително 11,3 см

Можете да прибягвате, ако дължината на хипотенузата и размерът на един от острите дадени правоъгълни триъгълника, Нека дължината с, единият от острите ъгли е равен на α. В такъв случай намерете 2 други страните правоъгълен триъгълника ще бъде възможно чрез следните формули:
a \u003d c * sinα;
b \u003d c * cosα.
Можете да донесете: дължината на хипотенузата е 15 см, един от острите ъгли е 30 градуса. За да намерите дължините на други две страни, трябва да извършите 2 действия:
a \u003d 15 * sin30 \u003d 15 * 0.5 \u003d 7.5 cm
b \u003d 15 * cos30 \u003d (15 * √3) / 2 \u003d 13 см (приблизително)

Най-нетривиалният начин за намиране дължина страните правоъгълен триъгълника - е да го изразим от периметъра на тази цифра:
P \u003d a + b + c, където P е периметърът на правоъгълника триъгълника, От този израз е лесно да се изрази дължина от двете страни на правоъгълник триъгълника.

Съвет 5: Как да намерите ъгъла на десен триъгълник, като знаете всички страни

Познаване и на трите страни в права въглища триъгълник е повече от достатъчен, за да изчисли всеки от неговите ъгли. Има толкова много от тази информация, че дори имате възможност да изберете коя от страните да използвате при изчисленията, за да използвате най-атрактивната тригонометрична функция за вас.

Ръководство за употреба

Ако предпочитате да се занимавате с арказин, използвайте дължината на хипотенузата (С) - най-дългата в изчислението страните - и този крак (A), който лежи срещу желания ъгъл (α). Разделянето на дължината на този крак на дължината на хипотенузата ще даде стойността на синуса на желания ъгъл, а функцията, обратна на синуса - дъгата - от получената стойност ще възстанови стойността на ъгъла в. Затова използвайте това при изчисленията: α \u003d арцин (A / C).

За да замените дъгата с аркозин, използвайте при изчисленията дължините на тези страни, които образуват желания ъгъл (α). Единият от тях ще бъде хипотенузата (С), а другият - кракът (В). По дефиниция косинусът е дължината, съседна на страната на крака с дължината на хипотенузата, а ъгълът от стойността на косинуса е функцията на аркозина. Използвайте следната формула за изчисление: α \u003d arccos (B / C).

Може да се използва при изчисления. За това се нуждаете от дължините на две къси страни - крака. Остра допирателна (α) в права въглища триъгълникът се определя от съотношението на дължината на крака (А), разположен срещу него, към дължината на съседния крак (В). По аналогия с описаните по-горе опции, използвайте тази формула: α \u003d arctg (A / B).

формула

Кой триъгълник се нарича правоъгълен?

Има няколко вида триъгълници. При някои всички ъгли са остри, в други - един тъп и два остър, в други - два остри и прави. Въз основа на това, всеки тип от тези геометрични фигури беше наречен: остър ъгъл, тъп и правоъгълен. Тоест триъгълник се нарича правоъгълник, в който един от ъглите е 90 °. Има още една, подобна на първата. Правоъгълник е триъгълник, в който две страни са перпендикулярни.

Хипотенуза и крак

За триъгълници с остри и ъглови ъгли, сегментите, свързващи върховете на ъглите, се наричат \u200b\u200bпросто страни. Партиите имат други имена. Тези, които са в съседство с правия ъгъл, се наричат \u200b\u200bкрака. Страната срещу десния ъгъл се нарича хипотенуза. На гръцки думата "хипотенуза" означава "опънат", а "крак" означава "перпендикулярно".

Връзката между хипотенузата и катетите

Страните на правоъгълен триъгълник са свързани помежду си с определени отношения, което значително улеснява изчислението. Например, знаейки размерите на краката, можете да изчислите дължината на хипотенузата. Тази връзка, след името на човека, който го е открил, е наречена теорема на Питагор и изглежда така:

c2 \u003d a2 + b2, където c е хипотенузата, a и b са краката. Тоест, хипотенузата ще бъде равна на квадратния корен на сумата от квадратите на краката. За да намерите някой от краката, достатъчно е да извадите квадрата на другия крак от квадрата на хипотенузата и да извлечете квадратния корен от получената разлика.

Съседен и противоположен крак

Начертайте десен триъгълник на ACB. Буквата С се използва за означаване на върха на прав ъгъл, а А и В са върховете на остри ъгли. Удобно е да се назоват страните срещу всеки ъгъл, a, b и c, според имената на ъглите срещу тях. Помислете ъгъла А. Кракът ще бъде противоположен за него, а крак b ще е съседен. Нарича се съотношението на противоположната страна към хипотенузата. Тази тригонометрична функция може да се изчисли по формулата: sinA \u003d a / c. Съотношението на съседния крак към хипотенузата се нарича косинус. Изчислява се по формулата: cosA \u003d b / c.

По този начин, знаейки ъгъла и едната от страните, човек може да изчисли другата страна, използвайки тези формули. Тригонометричните отношения са свързани и двата крака. Отношението на противоположния към съседния се нарича допирателна, а прилежащото към обратното се нарича котангенс. Тези отношения могат да бъдат изразени с формулите tgA \u003d a / b или ctgA \u003d b / a.

Известни са много видове триъгълници: положителни, равнобедрени, остроъгълни и т.н. Всички те притежават свойства, които са класически само за тях и всеки има свои правила за намиране на количества, независимо дали е отстрани или ъгъл в основата. Но от всяко разнообразие от тези геометрични фигури в отделна група е позволено да се избере триъгълник с прав ъгъл.

Ще ви трябва

Празен лист, молив и линийка за схематично представяне на триъгълник.

Ръководство за употреба

1. Триъгълник се нарича правоъгълен, ако един от неговите ъгли е 90 градуса. Състои се от 2 крака и хипотенуза. Хипотенузата е голямата страна на този триъгълник. Тя лежи обратно на правилния ъгъл. Краката, съответно, се наричат \u200b\u200bпо-малките му страни. Те могат да бъдат както равни помежду си, така и да имат различен размер. Равенството на краката означава, че работите с равнобедрен десен триъгълник. Чарът му е, че съчетава свойствата на 2 фигури: правоъгълен и равнобедрен триъгълник. Ако краката не са равни, тогава триъгълникът е произволен и се подчинява на основния закон: колкото по-голям е ъгълът, толкова по-огромно се търкаля противоположното колело.

2. Има няколко метода за намиране на хипотенузата по протежение на крака и ъгъла. Но преди да използвате някой от тях, трябва да определите кой крак и ъгъл са известни. Ако е даден ъгъл и страната в съседство с него, тогава хипотенузата се открива по-лесно от косинуса на ъгъла. Косинусът с остър ъгъл (cos a) в правоъгълен триъгълник е съотношението на съседния крак към хипотенузата. Отсел следва, че хипотенузата (с) ще бъде равна на съотношението на съседния крак (б) към косинуса на ъгъла a (cos a). Това може да се запише като: cos a \u003d b / c \u003d\u003e c \u003d b / cos a.

3. Ако ъгълът и противоположният крак са дадени, тогава трябва да работите със синусите. Синусът на острия ъгъл (sin a) в десен триъгълник е отношението на противоположната страна (a) към хипотенузата (c). Тук тезата работи, както в предишния пример, вместо косинусната функция се взема само синусът. sin a \u003d a / c \u003d\u003e c \u003d a / sin a.

4. Също така е позволено да се използва такава тригонометрична функция като допирателна. Но намирането на желаната стойност е малко по-сложно. Тангентата на остър ъгъл (tg а) в десен триъгълник се отнася до съотношението на противоположния крак (а) към съседния (б). След като откриете и двата крака, приложете теоремата на Питагор (квадратът на хипотенузата е сборът от квадратите на краката) и ще бъде открита огромната страна на триъгълника.

Хипотенузата се отнася до страната в правоъгълен триъгълник, който е срещу ъгъла от 90 градуса. За да се изчисли дължината му, достатъчно е да се знае дължината на един от краката и размера на един от острите ъгли на триъгълник.

Ръководство за употреба

1. Като се има предвид катет и остър ъгъл на правоъгълен триъгълник, размерът на хипотенузата може да бъде равен на съотношението на катета към косинуса / синуса на този ъгъл, ако този ъгъл е противоположен на него / съседен: h \u003d C1 (или C2) / sin ?; H \u003d C1 (или C2 ) / cos ?. Пример: Нека се даде десен триъгълник ABC с хипотенуза AB и прав ъгъл C. Нека ъгъл B е 60 градуса и ъгъл A 30 градуса Дължина на крака BC 8 см. Необходимо е да се открие дължината на хипотенузата AB. За да направите това, можете да използвате някой от предложените по-горе методи: AB \u003d BC / cos60 \u003d 8 см. AB \u003d BC / sin30 \u003d 8 cm.

Думата " катет ”Произлиза от гръцките думи„ перпендикулярно ”или„ отвесно ”- това обяснява защо и двете страни на правоъгълен триъгълник, съставляващи неговия деветдесет градусов ъгъл, бяха наречени така. Открийте дължината на всеки от катет Не е трудно, ако стойността на ъгъла, прилежащ към него, и някой друг параметър са известни, защото в този случай стойностите на всички 3 ъгъла наистина ще станат известни.

Ръководство за употреба

1. Ако в допълнение към стойността на съседния ъгъл (β), дължината на втория катет a (b), след това дължината катет а (а) може да бъде определен като коефициент на делението на дължината на известния катет и тангентата на известния ъгъл: a \u003d b / tg (β). Това следва от дефиницията на тази тригонометрична функция. Позволено е да правим без допирателна, ако използваме теоремата за синусите. От това следва, че съотношението на дължината на желаната страна към синуса на противоположния ъгъл е равно на съотношението на дължината на известния катет и до синуса на известния ъгъл. Срещу желаното катет остър ъгъл може да се изрази чрез известния ъгъл като 180 ° -90 ° -β \u003d 90 ° -β, тъй като сборът на всички ъгли на всеки триъгълник трябва да е 180 °, а чрез дефинирането на правоъгълен триъгълник един от неговите ъгли е 90 °. Така че желаната дължина катет и е позволено да се изчисли по формулата a \u003d sin (90 ° -β) ∗ b / sin (β).

2. Ако съседният ъгъл (β) и дължината на хипотенузата (с) са известни, тогава дължината катет и (а) е възможно да се изчисли като произведение на дължината на хипотенузата с косинуса на известния ъгъл: a \u003d c ∗ cos (β). Това следва от дефиницията на косинуса като тригонометрична функция. Но е позволено да се използва, както в предишната стъпка, теоремата за синусите и след това дължината на желаната катет и тя ще бъде равна на произведението на синуса на разликата между 90 ° и известния ъгъл чрез съотношението на дължината на хипотенузата и синуса на правилния ъгъл. И от факта, че синусът на 90 ° е равен на единство, формулата може да се запише по следния начин: a \u003d sin (90 ° -β) ∗ c.

3. Реалните изчисления могат да бъдат направени, да речем, с помощта на софтуерния калкулатор, включен в Windows. За да го стартирате, е разрешено в главното меню на бутона "Старт" да изберете елемента "Изпълни", въведете calc и натиснете бутона "OK". В най-простата версия на интерфейса на тази програма, която се отваря по подразбиране, тригонометричните функции не са предоставени, следователно, по-късно от нейното стартиране, трябва да щракнете върху секцията View в менюто и да изберете реда Scientist или Engineering (в зависимост от версията на използваната операционна система).

Свързани видеоклипове

Начертайте десен триъгълник на ACB. Определете краката му като a и b, а хипотенузата като s. Всички страни и ъгли на десен триъгълник са свързани помежду си с определени отношения. Съотношението на крака, противоположен на един от острите ъгли, към хипотенузата се нарича синус на този ъгъл. В този триъгълник sinCAB \u003d a / c. Косинът е отношението към хипотенузата на съседния крак, т.е. cosCAB \u003d b / c. Обратната връзка се нарича секант и сесектант.Семантът на този ъгъл се получава чрез разделяне на хипотенузата на съседния крак, т.е. secCAB \u003d c / b. Резултатът е реципрочен на косинуса, тоест е позволено да се изрази по формулата secCAB \u003d 1 / cosSAB. Съгласието е равно на коефициента на разделяне на хипотенузата на противоположния крак и това е реципрочността на синуса. Тя може да бъде изчислена по формулата cosecCAB \u003d 1 / sinCAB.И двата крака са свързани с допирателна и котангента. В този случай допирателната ще бъде съотношението на страна a към страна b, тоест срещуположния крак към съседния. Това съотношение може да бъде изразено с формулата tgCAB \u003d a / b. Съответно коефициентът е обратното съотношение: ctgCAB \u003d b / a. Съотношението между размерите на хипотенузата и двата крака се определя от древногръцкия математик Питагор. Хората все още използват теоремата, кръстена на него. Тя казва, че квадратът на хипотенузата е равен на сумата от квадратите на краката, т.е. c2 \u003d a2 + b2. Съответно всеки крак ще бъде равен на квадратния корен на разликата между квадратите на хипотенузата и друг крак. Тази формула може да бъде записана като b \u003d? (C2-a2). Дължината на крака може да се изрази чрез добре познатото съотношение. Според теоремите за синусите и косинусите кракът е равен на произведението на хипотенузата по една от тези функции. Позволено е да се изрази чрез тангента или котангента. Крак може да бъде открит, да речем, по формулата a \u003d b * tan CAB. Истина е по същия начин, в зависимост от дадената тангента или котангента, се определя и 2-рият крак. В архитектурата се използва и терминът „крак“. Той се използва по отношение на йонните капители и обозначава отвесна линия през средата на опашката му. Тоест в случая този термин се отнася до перпендикуляра на дадена права. В специалната технология на заваряване има представяне на „филе на заваръчна заварка“. Както и в други случаи, това е най-краткото разстояние. Тук говорим за интервала между една от частите, които трябва да бъдат заварени, до границата на шева, разположен на повърхността на друга част.

Свързани видеоклипове

Обърнете внимание!
Когато работите с питагорейската теорема, не забравяйте, че се занимавате със степен. След като сте намерили сбора от квадратите на краката, за да получите крайния резултат, трябва да извлечете квадратния корен.

Както знаете, геометрията е трудна наука, която изисква специална точност и точност при решаване на проблеми. Много изрази и формули, които впоследствие използваме при по-сложни изчисления, са описани в учебниците по математика от 6–7 клас. За да направим процеса на изучаване на тригонометричните функции по-лесен и по-приятен, в тази статия ще разгледаме няколко кратки начина за изчисляване на хипотенузата на десен триъгълник.

Как да открием хипотенуза в катети?

Спомнете си малко теория: правоъгълният триъгълник е плоска фигура, която има три ъгъла. Една от тях е с магнитуд 90º, а страните се наричат \u200b\u200bкрака и хипотенуза. Страната срещу десния ъгъл е хипотенузата, а другите два са съседните крака. Основната игра на страните се проявява в питагорейската теорема, според която хипотенузата е равна на сумата от квадратите на краката. Това обаче изглежда само объркващо, защото всъщност всичко е много по-просто.

Свойства на геометричната форма

Преди да намерите хипотенузата на триъгълник, трябва да разберете какви характеристики има тази фигура. Помислете за основните:

В десен триъгълник и двата остри ъгъла добавят до 90 °.
Крак, лежащ под ъгъл от 30º, ще бъде равен на ½ от размера на хипотенузата.
Ако кракът е ½ от стойността на хипотенузата, тогава вторият ъгъл ще има същата величина - 30º.

Има няколко начина за намиране на хипотенуза в десен триъгълник. Най-простото решение е да се изчисли през краката. Да предположим, че знаете стойностите на краката на страни A и B. Тогава на помощ идва Питагоровата теорема, която ни казва, че ако поставим всяка стойност на крака в квадрат и обобщим данните, ще знаем каква е хипотенузата. По този начин, просто трябва да извлечем квадратната стойност на корен:

Например, ако кракът е A \u003d 3 cm, а кракът е B \u003d 4 cm, тогава изчислението ще има следната форма:

Как да открием хипотенуза през ъгъл?

Друг начин, който ще ви помогне да разберете каква е хипотенузата в десен триъгълник, е да изчислите чрез даден ъгъл. За да направим това, трябва да изведем стойността чрез синусовата формула. Да предположим, че знаем размера на крака (A) и стойността на противоположния ъгъл (α). Тогава цялото решение се крие в една формула: C \u003d A / sin (α).

Например, ако дължината на крака е 40 см, а ъгълът - 45 °, тогава дължината на хипотенузата може да бъде получена, както следва:

40 / грях (45 °) \u003d 40 / 0,71 \u003d 56,33.

Можете също да определите желаната стойност чрез косинуса на даден ъгъл. Да предположим, че знаем стойността на единия крак (В) и остър съседен ъгъл (α). Тогава за решаване на проблема е необходима една формула: C \u003d B / cos (α).

Например, ако дължината на крака е 50 см и ъгълът е 45 °, тогава хипотенузата може да се изчисли, както следва:

50 / cos (45 °) \u003d 50 / 0,71 \u003d 80,42.

Така разгледахме основните начини за разпознаване на хипотенузата в триъгълник. В хода на решаването на задачата е важно да се съсредоточите върху наличните данни, тогава намирането на неизвестна стойност ще бъде съвсем просто. Трябва само да знаете няколко формули и процесът на решаване на проблеми ще стане прост и приятен.