Уравнение cos x бележки към урока. аркосинус

АЛГЕБРА И НАЧАЛА НА АНАЛИЗ

УРОК

- "мозъчна атака"

Предмет.Решаване на прости тригонометрични уравнения.

Уравнения на формата cos х = а .

10 клас

Гимназия No3

учител

Момот

Людмила

Александровна

Бердянск

Очаквани резултати:след този урок деца:

придобият разбиране за най-простите тригонометрични уравнения;

научете се да решавате уравнения от вида: грях х = а

ще започнат да разбират, че тази тема е продължение на знанията им от областта на тригонометрията;

ще се научат да прилагат познатите им математически понятия: корени на уравнение, диапазон от допустими стойности на променлива, опростяване на изрази и др. при решаване на тригонометрични уравнения;

Оборудване на урока:

кратък ОК урок;

слайд с математическа диктовка;

алгоритъм за решаване на тригонометрично уравнение;

слайдове за групова работа.

По време на часовете.

Етап на ориентиране.

Деца, продължаваме да изучаваме темата „Тригонометрични уравнения“, днес ще се запознаем с друг вид тригонометрични уравнения, а именно уравнения от формата: cosx = а .

Виждам основната цел на нашия урок, както следва:

продължи да съставя алгоритъм за решаване на най-простите тригонометрични уравнения;

развият способността да редуцират всяко тригонометрично уравнение до най-простата му форма;

Оставих празно място на слайда, искате ли да го попълните?..

Точно това ще направим с вас в днешния урок.

Докато изучаваме тази тема, ще продължим да работим по групи, никой няма желание да променя състава на групата.

Е, екипите са готови, да се захващаме за работа.

Предлагам да вземем думите на великия учител А. С. Макаренко като мото на нашия урок:

„Ако не можеш да направиш нещо сам,

не се намесвайте в този, който прави това.

Етап на определяне на целта на урока.

Работата, която ще направим днес, ще ви позволи да се ориентирате по-широко в „лабиринтите на тригонометричните уравнения“ и да приложите точно изучения теоретичен материал на практика.

Етап на проектиране.

Много бих искал това в днешния урок вие и аз:

Припомнихме и затвърдихме знанията си за тригонометричното уравнение.

Продължихме да създаваме ОК по темата.

Успяхме да решим друг блок от тригонометрични уравнения.

Демонстрираха знанията си чрез трансформиране на условията на уравненията.

Прояви творческа индивидуалност.

Успяхме да приложим системата от знания при извършване на PSR.

Получиха, демонстрираха и оцениха своите знания и умения.

Сега, когато знаете какво ще правим в клас, помислете и кажете:

Искате ли да участвате в нашия урок?

защо ти трябва това

Какво очаквате от днешния урок?

Коя част от урока ви плаши или тревожи?

Кой етап представлява най-голям интерес?

Етапът на организиране на изпълнението на плана за дейност.

1. Използване на техника « мо заг атака" при проверка на домашното.

Отговори на въпроси, възникнали по време на писане на домашна работа.

Изпълнение на задачата: „Математическа диктовка” по програма „Молния” (който отнема повече за 6 минути):

1. sin x = 0; 2. sin x = 1 3. sin x = -1

4. sin x = 5. грях x = 6. грях x =

7. грях x = - 8. грях x = - 9. грях x = -

10. грях x = 11. грях x = -
12. sin x = 0,5

Обобщаване на резултатите от самостоятелната работа.

2. Изучаване на нов материал.

2.1.Работете по двойки с OK по темата „Най-простите тригонометрични уравнения“, като използвате техниката „Всеки учи всеки“.

2.2 Практическа интерпретация на придобитите знания за най-простите тригонометрични уравнения от вида:cos х = а :

Решете уравнението:

cos x =

Решете уравнението:

cos x =

cos x = -

cos x = -

cos x =

cos x =

cos x =

cos x =

2.3. Прилагане на придобитите знания под формата на играта „Състезание за лидера“:

2cosx – 1 = 0 cos 2x – 1 = 0

/2 точки/ cos 2 x - sin 2 x = 0,5 2 sin 2 x = 1 /4 точки/

6cos 2 x + cosx – 1 = 0 cos 2 x + 3cosx = 0

4cos 2 x –3 =0 cos 2 2x = 1 + sin 2 2x / 6 точка ов/

Контролно-оценъчен етап.

Отражение.

1.1. - Смятам, че днес постигнахме целта си. Остава само да разберете доколко всеки от вас е усвоил системата от знания по темата „Решаване на уравнение от вида: cos х = а ” и е готов да се справи с домашните. Предлагам ви изравнената домашна работа, която вашите другари любезно са ви подготвили.

- Многостепенна домашна работа.

Ниво 1: Преминаване на тестове, подготвени от силен ученик.

Ниво II: Решаване на уравнения.

1.2. Ученици четат отразяваща карта на компютър.

признателност.

Смятате ли, че изпълнихме целите на урока?

Всички точки от плана изпълнени ли са?

Много съм доволен от работата ви, особено ми хареса как сръчно се справихте с подготовката на ОК, бях доволен от вашите правилни и бързи отговори в „Светкавица“, надявам се, че сте се справили отлично.

Оценяване.

- Вече сте достатъчно големи и можете обективно да оцените работата си. Дайте си оценка в първото поле.

Разпределете точките, спечелени в урока, пропорционално на вашето участие в групата. И посочете броя им във втория квадрат.

Ще попълня третото поле, когато ви проверя домашното и ще получа голямо удоволствие от вземането на правилните решения.

БЛАГОДАРЯ ЗА УРОКА!

ЖЕЛАЯ ВИ УСПЕХ В СЛЕДВАЩИЯ УРОК!

Урокът се проведе в компютърен кабинет. В този урок учениците работиха с компютъра индивидуално и групово.

Темата и целите на урока бяха показани на екрана и децата можеха да отидат до централния компютър и да направят промени в плана на урока.

Решаването на уравнения с помощта на програмата „Светкавица“ показа способността им бързо да избират желания отговор и да вкарат възможно най-много точки, което съставлява техния „начален капитал“ - 1-6 точки.

След като са разгледани готови решения на най-простите видове уравнения cos х = а , Децата, обяснявайки си по готови бележки, си разказваха и по двойки съставяха алгоритъм за решение, като първата двойка го показваше на екрана. След общо обсъждане беше одобрен окончателният му вариант.

Децата получиха втората половина от оценката си чрез самостоятелна работа на три нива (по избор).

Резултатите от първата и втората независима работа бяха въведени в компютъра, т.е. оценката беше съставена от резултатите от две работи.

Децата го прехвърлиха в своя лист за оценка.

Използването на компютър в този урок въведе нови и разнообразни форми и методи в учебния процес, което предизвика неподправен интерес у децата и улесни преподаването на не най-лесната тема по тригонометрия.

Разработчик на материали:

Матвеева Мария Викторовна

учител по математика

Държавно бюджетно учебно заведение "Олимпийски резерв"

Програмиран урок за 10 клас на тема:

Концепцията за аркосинус. Уравнение от формата c операционна система х = а.

Както при решаването на обикновени уравнения, решаването на тригонометрични уравнения се свежда до способността да се решават най-простите уравнения.

определение: Уравнението се нарича тригонометрично, ако неизвестното е под знака на тригонометричните функции.

Най-простите тригонометрични уравнения са: соперационна система x = a, sinx = a, tgx = a.

Всеки от тях има своя формула за решаване. Единственото, което трябва да е ясно помня- това се случва при решаването им безкрайно много корени.

Но Можете също така да намерите конкретни решения.

За да научите как да решавате първото най-просто тригонометрично уравнение, трябва да се запознаете с такава концепция като арккосинус на число.

трябва да бъде отбелязано че номер, за който се взема предвид аркосинус, принадлежи на интервала [-1; 1].

определение: Арккосинус на a [-1; 1] (обозначено arccos a ) такова число се нарича α , чийто косинус е равен на a.Това е cos ( arccos a ) = а.

Например, arccos (-1) = π;защото cos π= -1

arccos = , защото cos =

По този начин, аркосинус е обратната функция на косинуса.

Запишете го в теоретичната си тетрадка: определение и примери.

Всъщност намерете стойността arccosможете лесно да използвате до болка познатата масастойности на тригонометрични функции.

Когато намерите arccos трябва да си зададете въпроса на каква стойност cos равно на ? И погледнете масата. Отговор: „при 45° или в радиани ».

Трябва да се помни, че стойността на аркосинуса обикновено се записва само в радианова мярка. Следователно трябва да запомните съответствието между градус и радиан мерки на ъгли.

Ако числото, от което трябва да намерите косинуса на дъгата, е отрицателно, тогава за да го намерите, трябва да използвате формулата:

arccos (-a) = π - arccos a.

Например, arccos ( = π = .

arccos ( = π = .

Запишете формулата и примерите в теоретичната си тетрадка.

Решете задачи по учебника стр. 168 № 568 – 570.

Решаване на тригонометрично уравнение от вида cos x = a се свежда до използването на формулата:

x = ±

Тази формула може да се илюстрира на фигура 68 стр. 165 от учебника. Отворете си учебника.

Чертежът показва, че точката е отбелязана върху косинусовата ос . Права линия, начертана вертикално през тази точка, показва, че косинусът за стойноститеаз И VI четвърти съвпада.

Но как можем да получим тези ъгли, когато завъртим точката? Да точно ваз четвъртинки под ъгъл „+“ и при VI четвърти на "-". Тук е знакът „±". Тоест сс И cos съвпада.

Запишете в теоретичната си тетрадка: формулата и чертежа от учебника с обяснения.

Нека анализираме решението на тригонометрично уравнение, използвайки пример:сс x = x = ± (виж стойност според таблицата)x =± Отговор: x =± Запишете в теоретичната си тетрадка: решение на уравнението с обяснения.

Тъй като има безкраен брой корени, заданията понякога изискват от вас да намерите конкретни стойности на корените, например тези, принадлежащи на интервала, т.е.аз четвърт или интервал.

Тези задачи са много често срещани в Единния държавен изпит. Те могат да бъдат намерени чрез заместване снконкретни числа (маркирани с цвят, за да ви помогнат).

Например, разгледайте решението на нашето уравнение x =± 1. Позволявам н =0 . Тогава x =± ± , това е x 1 = + техен 2 = . От това можете да видите, че се оказва 45° и - 45°. От тези две числа само едно принадлежи на интервала, т.еаз четвъртинки. Само номер+ . 2. Позволявам н =1 . Тогава x =± ± , това е х 1 = + техен 2 = , х 1 = = техен 2 = =

От това се вижда, че се получава x 1 = 405° и x 2 = 315°. Това означава, че нито едно от числата не принадлежи наазчетвърти, тоест интервалът. Следователно те не могат да бъдат записани като отговор.

Запишете в теоретичната си тетрадка: метод за намиране на конкретни корени (принадлежащи към определен интервал) на тригонометрично уравнение. Например 1 , реши уравнениетосс x = и намерете корените, принадлежащи на интервала [ ]. първо,Това, което трябва да направите, е просто да решите уравнението с формулата и да забравите за интервала за известно време.сс x = x = ± (виж стойност според таблицата)x =± Второ, трябва да вземете решение за квартала, към който трябва да принадлежат корените. това е диапазонът от 90° до 180°. Така че това е II второ тримесечие. Трето,трябва да замените конкретни стойностин(маркирано в цвят, за да ви помогне).

Нека n=0.

Тогава x =± = ± , това е x 1 = техен 2 = . Ако се преобразува в градуси, тогава x 1 принадлежиаз четвъртинки и х 2 - IV четвъртинки. И нашият квартал II . Следователно трябва да замените друга стойностн . 2.Нека n=1. Тогава x =± = ± , това е х 1 = + техен 2 = , х 1 = = техен 2 = = x 1 = 420° и x 2 = 300°Отговор: x =±
Например 2 , реши уравнениетосс x = . сс x = x = ± (виж стойност според таблицата, но в таблицата няма такива стойности, така че изчислете стойността невъзможно).Отговор:x = ± Запишете в теоретичната си тетрадка: пример 2 с обяснения.Ако косинусът е равен на отрицателно число, трябва да използвате различна формула, когато решавате уравнението:

x = ± ± Решете задачи по учебника: стр. 169 № 571, 572. Уравненията не винаги са толкова прости; има уравнения с различна степен на сложност.Например, 3 . Решете уравнението2coс 3x = . сс 3x = ( трябва да разделите двете страни на уравнението на числото, което идва преди косинуса)3х = ± знакът за деление може да се изпише като наклонена черта s x = ,5 сс x = ,5 Не е възможно да се реши такова уравнение, тъй като стойността на косинуса е в диапазона [-1; 1].Отговор: няма решения.Запишете примери с обяснения в теоретичната си тетрадка. Решете задачи по учебника: стр. 169 № 573.

Продължавайки предишната тема, в която бяха разгледани примери за решаване на тригонометрични функции, този видео урок запознава учениците с арк косинус и решаването на уравнението cos t = a.

Разгледан е пример за решаване на уравнението cos t =1/4. Използвайки числовата окръжност, намираме точки с координата x = 1/4; на графиката отбелязваме тези точки като M(t 1) и N(t 2).

Графиката показва, че t 1 е дължината на AM, а t 2 е дължината на AN. По друг начин можем да кажем, че t 1 = arccos 1/4; t 2 = - arccos 1/4. Решение на уравнението t = ± arccos ¼ + 2πk.

Така arccos 1/4 е числото (дължината на AM), чийто косинус е равен на 1/4. Това число принадлежи към интервала от 0 до π/2, т.е. първата четвърт от кръга.

След това разглеждаме решението на уравнението cos t = - 1/4. По аналогия с предишния пример, t = ± arccos (-1/4 + 2πk. Можем да кажем, че arccos (-1/4 е число (дължина на дъгата AM), чийто косинус е - ¼ и това число принадлежи на II четвърт кръг, т.е. отсечка от π/2 до π.

Въз основа на два примера е дадена дефиницията на аркосинус: ако модулът a е по-малък или равен на 1, тогава arccos a е число от сегмента от 0 до π, чийто косинус е равен на a. Тогава изразът cos t = a с модул a по-малък или равен на 1 може да изглежда като t = ± arccos a + 2πk. По-долу са стойностите на t при cos t = 0; cos t = 1; cos t = - 1.

Авторът дава пример 1. Намерете решение на израза arccos. Нека посочим, че тази стойност на arccos е равна на T, следователно cos t е равно на тази стойност, където t принадлежи към сегмента от 0 до π. Използвайки таблицата със стойности, намираме, че cos t съответства на стойността t =π/6. Нека намерим съответната косинусова стойност, където π/6 принадлежи на сегмента от 0 до π.

Нека разгледаме пример 2. Изчислете arcсos на отрицателно число. Да приемем, че arcсos на това число е равно, следователно cos t е равно на това число, където t принадлежи на сегмента от 0 до π. От таблицата със стойности ще видим каква стойност съответства на cos t, това е t = 5π/6. Тези. cos 5π/6 е минус корен от три делено на две, където 5π/6 принадлежи на сегмента от 0 до π.

След това авторът разглежда теоремата: за всяко a, принадлежащо на сегмента от минус едно към едно, равенството наистина е arccos a + arccos (-a) = π. В доказателството, за определеност, приемаме, че a > 0, тогава< 0. На окружности отметим arccos a, это длина АК, и arccos (- a), это длина TС. АК = ТС, т.к. они симметричны относительно вертикального диаметра окружности ТК. Следовательно, arccos a + arccos (- а) = АК + АТ = ТС + АТ =π. Из написанного равенства можно сделать вывод, что arccos (- а) = π- arccos a, где 0 ≤ а ≤ 1.

Когато a > 0, arccos a принадлежи към първата четвърт от окръжността (маркирана на фигурата), а когато a< 0, arccos a принадлежит II четверти.

Нека да разгледаме друг пример. Решете израза, където cos t е равно на отрицателно число. Нека запишем на какво е равно t в този случай. След това намираме стойността на аркосинуса, това е 3π/4. Нека заместим намерената стойност на arcсos в стойността на t и получаваме, че t = ± 3π/4+ 2πk.

Нека анализираме решението на неравенството cos t. За да решим, трябва да намерим точки в числовата окръжност, при които x е равно на стойността на косинуса. Това са точки със стойности π/4 и - π/4. Както може да се види на фигурата, дължината на дъгата MN е π/4≤ t ≤π/4. Това означава, че отговорът на неравенството ще бъде - π/4 + 2πk≤ t ≤ π/4+ 2πk.

ДЕКОДИРАНЕ НА ТЕКСТ:

Аркосинус. Решаване на уравнението цена = a

Нека разгледаме решаването на уравнението cost = .

Като се има предвид, че cos t е абсцисата на точката M(t) (em от te) на числовата окръжност, намираме точки с абсцисата на числовата окръжност

Върху числовата окръжност отбелязваме точките M(t 1), N(t 2) - пресечните точки на правата x= с тази окръжност.

t 1 е дължината на дъгата AM, t 2 е дължината на дъгата AN, t 2 = - t 1.

Когато математиците за първи път се сблъскаха с тази ситуация, те въведоха новия символ arccos

arccos (аркосинус от една четвърт).

Тогава t 1 = arccos; t 2 = - arccos

И тогава корените на уравнението цена = могат да бъдат записани в две формули:

t = arccos + 2πk, t = - arccos + 2πk или t = arccos + 2πk.

Какво означава arccos?

Този номер

(дължина на дъгата AM), чийто косинус е равен на една четвърт и това число принадлежи към първата четвърт, т.е. сегмента.

Сега разгледайте уравнението

цена = - . Подобно на решаването на предишното уравнение, ние пишем

t = arccos) + 2πk.

Как да разбираме arccos(-)? Този номер

(дължина на дъгата AM), чийто косинус е равен на минус една четвърт и това число принадлежи към втората четвърт, тоест отсечката [; ].

Нека дефинираме арк косинус:

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Нека | a | 1 (модул a е по-малък или равен на едно). Арккосинус а е число от отсечката, чийто косинус е равен на а (фиг.1).

ПРИМЕР 1. Изчислете arccos. (корен по дъга косинус от три по две)

Решение. Нека arccos = t. Тогава cost = and t[; ](te принадлежи към сегмента от нула до pi). Нека помним, че стойността на cos съответства на

(Показване на таблица със стойности) Това означава t = (pi по шест), тъй като cos = и . Това означава arccos = .

arcos е дължината на дъгата, но дължината на кръговата дъга е t в дефиницията на цената

(Конвенционално можем да кажем, че аркосинусът е „стойността на ъгъла“, под който точката преминава от М от точка А, ако си спомняте, че въведохме числото t като част от дължината на окръжността, радиусът равен до 1 (едно), а след това 2π - цялата окръжност е равна на 360°, π - половин окръжност =180°, ==60°)

ПРИМЕР 2. Изчислете arccos(- (аркосинус минус корен от три по две).

Решение. Нека arccos(-) = t. Тогава cost = and t[; ](te принадлежи към сегмента от нула до pi). Това означава t = (пет пи по шест), тъй като cos = - и [; ]. И така, arccos) = .

Нека докажем ТЕОРЕМАТА. За всяко a [; ](и от отсечката от минус едно към едно) равенството arccosа+ arccos(-а) = π(сумата от аркосинус a и аркосинус минус a е равна на pi).

Доказателство. За по-голяма категоричност ще приемем, че a 0, след това a 0. На числовата окръжност отбелязваме arcos a (това е дължината на дъгата AK) и

arccos(-a) (това е дължината на дъгата AT) (виж Фиг. 2)

От доказаната теорема следва: arcos (-a) = π - arcos a (аркосинус минус a е равно на разликата между pi и аркосинус a), където 0 a 1 (където a е по-голямо или равно на нула и по-малко от или равно на едно).

Когато a > 0, се счита, че arcos Апринадлежи към първата четвърт от числовия кръг.

Когато< 0 считают, что arcosАпринадлежи към втората четвърт от числовия кръг.

ПРИМЕР 3. Решете уравнението цена = - .

Решение. Нека създадем формула за решения: t = arccos(-)+ 2πk.

Нека изчислим стойностите на аркосинус: arccos(-) = π - arccos = π - = .

(Според връзката arccos(-) = π - arccos arccos, след което заместваме тази стойност във формулата, получаваме, че arccos(-) =) .

Нека заместим намерената стойност във формулата за решение t = arccos(-)+ 2πk и да получим стойността на t: t = + 2πk.

ПРИМЕР 4. Решете неравенството на разходите.

Решение. Знаем, че цената е абсцисата на точката M(t) върху числовата окръжност. Това означава, че трябва да намерите точки M(t) върху числовата окръжност, които удовлетворяват неравенството x.

Правата x = пресича числовата окръжност в две точки M и N.

Неравенството x съответства на точките от отворената дъга MN. Съответства на точка M, а на точка N -

- (минус пи с четири).

Това означава, че ядрото на аналитичната нотация на дъгата MN е неравенството

T , а самият аналитичен запис на дъгата MN има формата

Уроци 34-35. Тригонометрични уравнения

09.07.2015 4523 0

Мишена: помислете за решаване на тригонометрични уравнения.

I. Съобщаване на темата и целта на уроците

II. Повторение и затвърдяване на преминатия материал

1. Отговори на въпроси за домашна работа (анализ на нерешени задачи).

2. Проследяване на усвояването на материала (писмено проучване).

Опция 1

arctg x.

2. Графика на функцията:

3. Изчислете

Вариант 2

1. Дефинирайте и избройте основните свойства на функцията y = arcctg x.

2. Графика на функцията:

3. Изчислете

III. Учене на нов материал

Нека разгледаме решаването на някои видове тригонометрични уравнения. За да направите това, е необходимо, използвайки трансформации, да намалите това уравнение до едно от най-простите уравнения - sin x = a, cos x = a, tg x = a, ctg x = a , чието решение може да се запише.

1. Най-простите тригонометрични уравнения

Нека отново си припомним решенията на най-простите тригонометрични уравнения.

1. Решения на уравнения sin x = a (където | a | ≤ 1) имат формата:

2. Решения на уравнения cos x = a (където |a| ≤ 1) имат формата:

3. Решения на уравнения tg x = a имат формата:

4. Решения на уравнения ctg x = a имат формата:

При решаване на уравнения sin x = 0; ±1 и cos x = 0; ±1 (специални случаи) е по-удобно да се използват не общи формули, а да се използва числовият кръг, тогава получаваме:

Пример 1

За уравнението sin x = 1 ще покажем предпочитанието за използване на числовата окръжност.

Първо записваме решенията на уравнениетогрях х = 1, използвайки общата формулаЗа множество стойностин такива решения са дадени в таблицата.

От данните в таблицата става ясно, че при използване на формулатаВсеки разтвор се повтаря два пъти. Освен това изразътпо-тромаво в сравнение с формулатакоето се получава чрез разглеждане на числовата окръжност.

Пример 2

Нека намерим решения на уравнениетопринадлежащи към сегмента.

Нека решим това уравнение с помощта на числовата окръжност. Получаваме:Нека изберем онези решения, които принадлежат към сегмента. По условие получаваме неравенствотоНека решим това неравенство:Три цели числа попадат в този диапазон n:n = 0, 1, 2. За тези стойностин нека намерим съответните решения:

Пример 3

Нека решим уравнението

Използвайки общата формула, получаваме:Тогава

2. Два основни метода за решаване на тригонометрични уравнения

За решаване на по-сложни уравнения използвайте метода на въвеждане на нова променлива и метода на факторизиране. Нека първо разгледаме метода за въвеждане на нова променлива.

Пример 4

Нека решим уравнението:

а) Нека въведем нова променлива z = cos x чиито корени са z 1 = 1 и z 2 = 2/3. Нека се върнем към старото неизвестно и да получим най-простите уравнения cos x = 1 и cos x = 2/3. Решения на първото уравнение x = 2π n , решения на второто уравнение

б) Използване на формулатав уравнението, нека преминем към функцията sinx. Получаваме: или След това процедираме подобно на точка а. Нека въведем нова променлива z = sinx и получаваме квадратно уравнениечиито корени са z 1 = 2 и z 2 = 1/3. Нека се върнем към старото неизвестно и да получим най-простите уравнениягрях x = 2 (няма решения) игрях x = 1/3 (неговото решение).

Сега нека обсъдим втория метод - методът на факторизиране. Когато се прилага, уравнението f(x ) = 0 се записва във формата, тогава или f 1 (x) = 0, или f 2 (x) = 0. По този начин проблемът се свежда до решаване на набор от уравнения

Пример 5

Нека решим уравнението:

а) Лявата страна на уравнението вече е разложена на множители. Проблемът се свежда до решаването на набор от уравнения tg x - 1 = 0 (или tg x = 1) и cos x + 1/2 = 0 (или cos x = -1/2). Решения на първото уравнениерешения на второто уравнение

б) Нека извадим cos 3 x извън скобите получаваме:Сега трябва да решим набор от уравнения cos 3 x = 0 и (или ). Решавайки първото уравнение, намираме:И Решавайки второто уравнение, получаваме:

Нека изясним въпросния метод. От ур.следва, че или f 1 (x ) = 0 (в този случай изразъте 2 (x) има смисъл), илие 2 (x) = 0 (в този случай изразът f 1 (x) има смисъл).

Пример 6

Нека решим уравнението cot x (cos + 1) = 0.

От уравнението cot x = 0 намираме: от уравнението cos x + 1 = 0 (или cos x = -1) получаваме: x = π + 2π n . Но за такива стойности на x, изразът ctg x няма смисъл. Следователно решенията на това уравнение x = π/2 + nн.

3. Хомогенни тригонометрични уравнения

Сега нека обсъдим един често срещан тип уравнения - хомогенни уравнения.

Определение. Уравнение на формата(където a ≠ 0, b ≠ 0) се нарича хомогенно тригонометрично уравнение от първа степен. Уравнение на формата(където a ≠ 0) се нарича хомогенно тригонометрично уравнение от втора степен.

Нека първо разгледаме решението на хомогенни тригонометрични уравнения от първа степенНека се уверим, че cos x ≠ 0. Да предположим, че cos x = 0 и заместете тази стойност в това уравнение. Получаваме:грях x = 0. Тъй като a ≠ 0, тогавагрях х = 0. Очевидно равенствата cos x = 0 и sin x = 0 не може да се изпълни едновременно, тъй като равенството sin 2 x + cos 2 x = 1 не се изпълнява.

Тъй като cos x ≠ 0, тогава cos x. Получаваме: или от къде и

Пример 7

Нека решим уравнението

Нека разделим всички членове на уравнението наи получаваме: Ще намерим и

Пример 8

Нека решим уравнението

Нека вземем предвид паритета на функцията косинус и формулата за редукция. Получаваме:или Нека разделим двете страни на уравнението на cos 3 x. Имаме: 2 tg 3 x = -1, откъдето tg 3 x = -1/2,

Нека сега разгледаме решението на хомогенно тригонометрично уравнение от втора степенНека се уверим, че cos x ≠ 0. Заместете стойността cos x = 0 в това уравнение и получаваме:грях 2 x = 0. Тъй като a ≠ 0, имаме:грях x = 0. Но равенства cos x = 0 и sin x = 0 не може да се изпълни едновременно.

Тъй като cos x ≠ 0, след това разделете всички членове на уравнението на cos 2 x и получаваме: или Нека въведем нова променлива z = тен x и стигаме до квадратното уравнение az 2 + bz + c = 0. Решете това уравнение. След това се връщаме към старата променлива, получаваме най-простите тригонометрични уравнения и намираме техните решения.

Пример 9

Нека решим уравнението

Нека разделим всички членове на уравнението на cos 2 x и получаваме: tg 2 x – tg x - 2 = 0. Нека въведем нова променлива z = тен x и получаваме квадратно уравнение z 2 - z - 2 = 0, чиито корени z 1 = -1 и z 2 = 2. Да се ​​върнем към старата променлива. Имаме най-простите тригонометрични уравнения tg x = -1 (негови решения) и tan x = 2 (негови решения ).

Пример 10

Нека решим уравнението

Това уравнение не е хомогенно, тъй като дясната страна съдържа числото 1, а не числото 0. Ако вземем предвид равенството sin 2 x + cos 2 x = 1, тогава уравнението може лесно да се сведе до хомогенно. Получаваме:или Нека разделим всички членове на уравнението на cos 2 x. Имаме: tg 2 x + 5 tg x + 4 = 0. Нека въведем нова променлива z = тен x и получаваме квадратно уравнение z 2 + 5 z + 4 = 0, чиито корени z 1 = -1 и z 2 = -4. Да се ​​върнем към старата променлива. Нека получим най-простите тригонометрични уравнения tg x = -1 (неговите решения) и tg x = -4 (негови решения).

Нека хомогенно тригонометрично уравнениекоефициент а = 0. Тогава уравнението изглежда така:В този случай разделете на cos 2 x не е възможно, тъй като cos x може да е нула. Следователно е необходимо да се използва методът на факторизиране. ПолучавамеИмаме най-простото тригонометрично уравнение cos x = 0 и хомогенно тригонометрично уравнение от първа степенВече знаем как да решаваме такива уравнения.

Пример 11

Нека решим уравнението

Нека факторизираме лявата страна на уравнението:Произведението на два фактора е равно на нула. Следователно един от факторите е нула. Получаваме най-простото тригонометрично уравнение cos x = 0 (негови решения ) и хомогенно тригонометрично уравнение от първи редили (неговите решения).

Методът на факторизиране се използва и в случай, когато коефициентът c = 0. Тогава уравнението изглежда така:или Отново получаваме най-простото тригонометрично уравнениегрях x = 0 и хомогенно тригонометрично уравнение от първи редкоито се решават подобно на пример 11.

Разглеждането на примери 9-11 ни позволява да формулираме алгоритъм за решаване на уравнението

1. Ако коефициентът a не е нула, тогава всички членове на уравнението се делят на cos 2 x . Въведете нова променлива z = тен x и получаваме квадратно уравнение. Намерете корените на това уравнение и се върнете към старото неизвестно. Получете най-простите тригонометрични уравнения и ги решете.

2. Ако коефициентите a и c са равни на нула, тогава използвайте метода на факторизиране. Приа = 0 е извадено от скоби cos x, когато c = 0 те изваждатгрях х . Получете най-простото тригонометрично уравнение и хомогенно тригонометрично уравнение от първи ред и ги решете.

IV. Контролни въпроси

1. Решения на най-простите тригонометрични уравнения.

2. Два основни метода за решаване на тригонометрични уравнения.

3. Дефиниция на хомогенно тригонометрично уравнение от първа и втора степен.

4. Решение на хомогенно тригонометрично уравнение от първа степен.

5. Алгоритъм за решаване на хомогенно тригонометрично уравнение от втора степен.

V. Задача на урока

§ 18, № 3 (а, в); 5 (a, b); 6 (b); 8 (g); 10 (a, b); 11 (c); 12(а); 13 (c); 16; 18; 20(а); 21 (a, b); 23(а); 27 (a, b); 30(а); 31; 33(а); 34(b); 35(а).

VI. Домашна работа

§ 18, № 3 (b, d); 5 (c, d); 6 (g); 8 (b); 10 (c, d); 11(а); 12 (b); 13 (g); 17; 19; 20 (b); 21 (c, d); 23(b); 27 (c, d); 30(b); 32; 33(b); 34(а); 35(b).

VII. Обобщаване на уроците

Арккосинус на число А . Решаване на уравнения cos х = а .

Вещ:алгебра и началото на анализа

клас: 10.

Тема на урока:Арккосинус на число А. Решаване на уравнения cos х = а .

Тип урок:урок за изучаване на нов материал и първоначално консолидиране на знанията.

Оборудване: компютър, интерактивна дъска, листовки, карти за отразяване на учебните дейности (за всеки ученик), плакат с единичен кръг.

Цели:

Образователни : въведе концепцията за аркосинус на число; развийте умението за изчисляване на арксинуса на число А; изведете формулата за корените на най-простите тригонометрични уравнения: формула cos х = а ; научи как да използва формулата при решаване на прости тригонометрични уравнения; изучават специални случаи на решаване на тригонометрични уравнения с Аравно на 0, – 1, 1.

Развитие : развиват способността за кратко, логично, последователно изразяване на мисли и преценки; развийте способността да аргументирате твърденията си; развиват уменията да класифицират, сравняват, анализират и правят заключения.

Образователни : преподават умения за планиране на дейности и работа с оптимално темпо; култивиране на способността за правилна оценка на собствените способности, резултатите от образователните дейности и развиване на комуникационни умения; култивирайте упорит труд и решителност.

По време на часовете.

1. Организационен момент , 2 минути.

Учител. Здравейте момчета. Днес в час ще учим. (Слайд 1)

а) кратко, логично, последователно изразявайте мисли и преценки;

б) мотивирайте твърденията си;

в) сравняват, анализират и правят заключения;

г) оценяват резултатите от своята образователна дейност.

Помним, че всеки ученик, както винаги, има право (пиша на дъската):

изразете мнението си и бъдете чути;

самостоятелно планиране на домашна самоподготовка;

знаеш повече от учителя и защитаваш хипотезите си.

2. Актуализиране на знанията , 3-4 мин.

Устно броене.

Задачите се проектират на интерактивен екран. (Слайд 2 )

1. Изчислете стойности:cos ; cos ; cos .

,,към кой квартал принадлежиш?

Точки на единична окръжност ,,принадлежат към 1 четвърт?

Косинусът на кой ъгъл е положителна величина?

Ако ъгълът принадлежи на 1 четвърт.

Заключение. Косинусът на остър ъгъл е положителна величина.

2. Изчислете стойности:cos ; cos ; cos .

,,към кой квартал принадлежиш?

Точки на единична окръжност ,,принадлежат на 2 четвърти.

Косинусът на кой ъгъл е отрицателна величина?

Ако ъгълът принадлежи към 2-ра четвърт.

Заключение. Косинусът на тъпия ъгъл е отрицателен.

3. Косинусът на кой ъгъл е равен; 0; ; 1; ; –; –, Ако
?

3. Проверка на домашните , 3-4мин.

3 ученици подготвят предварително решения на уравнения на дъската. Обяснението се базира на единичната окръжност.

1 ученик

cos T = ,

T =
+ 2πк , Къдеток З .

Отговор: T =
+ 2πк , Къдеток З .

2 ученик

cos T = 1,5,

няма решение, защото – 1≤ а ≤1.

Отговор: няма решения .

cos T = 1,

t = 2 π к , Къдеток З .

Отговор : T = 2πк , Къдеток З .

3 ученик

cos T = 0,

T = + π к , Къдеток З .

Отговор: T = + π к , к З .

cos T = – 1,

T = π + 2πк , Къдеток З .

Отговор: T = π + 2πк , Къдеток З .

4. Учене на нов материал , 13-15 мин.

cos T = .

На дъската, пише на основната дъска до примера.cos T = , всички останали ученици слушат. Примерът и единичната окръжност са написани предварително.

Като рецитира алгоритъма за решаване на най-простото тригонометрично уравнение, ученикът решава уравнението с единичната окръжност.

T = T 1 +2πк ,

T = T 2 +2πк , Къдеток З .

защотоT 1= – T 2, ЧеT = ± T 1 +2πк , Къдеток З .

Това влизане ли е отговор решения на уравнението?

Този запис не е отговорът за решаването на уравнението, тъй като стойностите не са дефинирани T 1 .

Учител. Какво е това число T 1 , все още е неизвестен, ясно е само това T 1
. Изправени пред тази ситуация, математиците осъзнават, че трябва да измислят начин да я опишат на математически език. Затова беше въведен нов символ дъга соперационна система А, което се чете: аркосинус А.

Нека напишем темата на днешния урок: „Арккосинус на числоА . Решаване на уравненияcos T = а ».

(Слайдове 3, 4)

Учител. Днес в урока ще изучаваме понятието аркосинус на число, ще се научим как да го изчисляваме и прилагаме при решаване на прости тригонометрични уравнения. (Слайд 3)

Аркусв превод от латински означава дъга, сравнете с думата арх. Arc cos символ А, въведен от математиците, съдържа знака (дъга ) , соперационна система А– напомняне за оригиналната функция. (Слайд 4)

Отворете учебника на стр. 89 и прочетете дефиницията на аркокосинус.

Учениците отварят учебника и четат определението от книгата, като подчертават основното.

Затвърдяване и упражняване на понятието арккосинус на число и алгоритъма за пресмятането му.

Фронтална работа с класа.

На кое число е равен косинусът А?

Използвайки определението, което сте научили, намерете значението на израза:

arccos ( ); дъга соперационна система ( ); дъга соперационна система ( ).

(Слайд 5)

arccos ( ) = ;

дъга соперационна система ( ) = ;

Аrc соперационна система ( ) =

Всички стойности на a принадлежат на сегмента от – 1 до 0. Към коя четвърт принадлежат стойностите на аркосинуса? А?

Стойности аркос Апринадлежат на сегмента от 0 до .

Как да изчислим стойността arccos (- А)? Нека се обърнем към учебника и да намерим формулата, по която се изчислява стойността аркос (–a) (Прочетете и маркирайте формулата).

Изчисли: arccos (– ); дъга соперационна система (– );

Аrc соперационна система (– ). (Слайд 6)

arccos (– )= ;

Аr сcos (– ) = ;

Аr сcos (– ) =

Всички значения (- А)принадлежат към сегмента от – 1 до 0. Към коя четвърт принадлежат стойностите? arccos (-A)?

Запишете справочен материал. (Слайд 6)

Стойности дъга соперационна система (-A)принадлежат към сегмента от до π .

Учениците записват формулата в тетрадката си.

Изчисляваме от слайд на интерактивната дъска.

Упражнение.Намерете значението на израза:

А) arccos ( ) – arccos (– ) + + аркос 1; ( пързалка 7)

b) 2 arccos 0 + 3 arccos 1 – arccos (– ) ( пързалка 8)

5. Самостоятелна работа (последвана от самопроверка). (Слайд 9)

2 души работят самостоятелно на дъската, останалите работят в тетрадки, след което проверяват правилността на изпълнението. Работилите върху домашното пишат на дъската листовки, след което ги предайте за проверка.

cos T = , което реших... Познавайки понятията за аркосинус, сега можем да напишем отговора за решаване на това уравнение, както следва.

cos t = .