ستناقش هذه المقالة مفهومًا مثل رتبة المصفوفة والمفاهيم الإضافية الضرورية. سنقدم أمثلة وأدلة على العثور على رتبة المصفوفة، وسنخبرك أيضًا ما هي المصفوفة الصغرى وسبب أهميتها.

Yandex.RTB RA-A-339285-1

مصفوفة طفيفة

لفهم رتبة المصفوفة، عليك أن تفهم مفهوم المصفوفة الصغرى.

التعريف 1

صغيركترتيب المصفوفة هو محدد مصفوفة مربعة من الرتبة k×k، والتي تتكون من عناصر المصفوفة A الموجودة في صفوف k وأعمدة k محددة مسبقًا، مع الحفاظ على موضع عناصر المصفوفة A.

ببساطة، إذا قمنا في المصفوفة A بحذف الصفوف (p-k) والأعمدة (n-k)، ومن تلك العناصر المتبقية، قمنا بإنشاء مصفوفة، مع الحفاظ على ترتيب عناصر المصفوفة A، فإن محدد المصفوفة الناتجة هو القاصر من الرتبة k للمصفوفة A.

يترتب على المثال أن العناصر الثانوية من الدرجة الأولى للمصفوفة A هي عناصر المصفوفة نفسها.

يمكننا أن نعطي عدة أمثلة على القاصرين من الدرجة الثانية. دعونا نختار صفين وعمودين. على سبيل المثال، الصف الأول والثاني والعمود الثالث والرابع.

مع هذا الاختيار للعناصر، سيكون الترتيب الثانوي الثاني - 1 3 0 2 = (- 1) × 2 - 3 × 0 = - 2

ثانوي آخر من الدرجة الثانية للمصفوفة A هو 0 0 1 1 = 0

دعونا نقدم الرسوم التوضيحية لبناء القاصرين من الدرجة الثانية للمصفوفة A:

يتم الحصول على الدرجة الثالثة الثانوية عن طريق شطب العمود الثالث من المصفوفة A:

0 0 3 1 1 2 - 1 - 4 0 = 0 × 1 × 0 + 0 × 2 × (- 1) + 3 × 1 × (- 4) - 3 × 1 × (- 1) - 0 × 1 × 0 - 0 × 2 × (- 4) = - 9

رسم توضيحي لكيفية الحصول على الترتيب الثالث الثانوي للمصفوفة A:

بالنسبة لمصفوفة معينة، لا توجد عناصر ثانوية أعلى من المرتبة الثالثة، لأن

ك ≥ m i n (p , n) = m i n (3 , 4) = 3

ما عدد العناصر الثانوية من الرتبة k الموجودة في المصفوفة A من الرتبة p×n؟

يتم حساب عدد القاصرين باستخدام الصيغة التالية:

C p k × C n k , حيث e C p k = p ! ك! (ع - ك) ! و ج ن ك = ن ! ك! (ن - ك) ! - عدد المجموعات من p إلى k ومن n إلى k على التوالي.

بعد أن حددنا ماهية العناصر الثانوية للمصفوفة A، يمكننا المضي قدمًا في تحديد رتبة المصفوفة A.

رتبة المصفوفة: طرق البحث

التعريف 2

رتبة المصفوفة - أعلى ترتيب للمصفوفة غير الصفر.

التعيين 1

المرتبة (أ)، آر جي (أ)، رانج (أ).

ومن تعريف رتبة المصفوفة والصغرى للمصفوفة يتبين أن رتبة المصفوفة الصفرية تساوي الصفر، ورتبة المصفوفة غير الصفرية تختلف عن الصفر.

العثور على رتبة المصفوفة حسب التعريف

التعريف 3

طريقة إحصاء القاصرين - طريقة تعتمد على تحديد رتبة المصفوفة.

خوارزمية الإجراءات باستخدام طريقة عد القاصرين :

من الضروري العثور على رتبة المصفوفة A من الترتيب ص× ن. إذا كان هناك عنصر واحد على الأقل غير الصفر، فإن رتبة المصفوفة تساوي على الأقل واحد ( لأن هناك ثانوية من الدرجة الأولى لا تساوي الصفر).

بعد ذلك يأتي تعداد القاصرين من الدرجة الثانية. إذا كانت جميع الرتب الثانوية الثانية تساوي صفرًا، فإن الرتبة تساوي واحدًا. إذا كان هناك على الأقل واحد صغير غير الصفر من الدرجة الثانية، فمن الضروري الانتقال إلى تعداد الصغار من الدرجة الثالثة، وستكون رتبة المصفوفة، في هذه الحالة، مساوية لاثنين على الأقل.

سنفعل الشيء نفسه مع رتبة الترتيب الثالث: إذا كانت جميع العناصر الثانوية للمصفوفة تساوي صفرًا، فستكون الرتبة تساوي اثنين. إذا كان هناك على الأقل واحد ثانوي غير صفري من الدرجة الثالثة، فإن رتبة المصفوفة تكون ثلاثة على الأقل. وهكذا على سبيل القياس.

مثال 2

أوجد رتبة المصفوفة:

أ = - 1 1 - 1 - 2 0 2 2 6 0 - 4 4 3 11 1 - 7

وبما أن المصفوفة غير صفرية، فإن أدنى رتبة لها هي واحد.

الدرجة الثانية الثانوية - 1 1 2 2 = (- 1) × 2 - 1 × 2 = 4 ليست صفرًا. ويترتب على ذلك أن رتبة المصفوفة A هي اثنان على الأقل.

نقوم بفرز الترتيب الثالث الثانوي: C 3 3 × C 5 3 = 1 5! 3! (5 - 3) ! = 10 قطع.

1 1 - 1 2 2 6 4 3 11 = (- 1) × 2 × 11 + 1 × 6 × 4 + (- 1) × 2 × 3 - (- 1) × 2 × 4 - 1 × 2 × 11 - (- 1) × 6 × 3 = 0

1 - 1 - 2 2 6 0 4 11 1 = (- 1) × 6 × 1 + (- 1) × 0 × 4 + (- 2) × 2 × 11 - (- 2) × 6 × 4 - (- 1) × 2 × 1 - (- 1) × 0 × 11 = 0

1 1 - 2 2 2 0 4 3 1 = (- 1) × 2 × 1 + 1 × 0 × 4 + (- 2) × 2 × 3 - (- 2) × 2 × 4 - 1 × 2 × 1 - (- 1) × 0 × 3 = 0

1 - 1 0 2 6 - 4 4 11 - 7 = (- 1) × 6 × (- 7) + (- 1) × (- 4) × 4 + 0 × 2 × 11 - 0 × 6 × 4 - ( - 1) × 2 × (- 7) - (- 1) × (- 4) × 11 = 0

1 - 1 0 2 6 - 4 3 11 - 7 = 1 × 6 × (- 7) + (- 1) × (- 4) × 3 + 0 × 2 × 11 - 0 × 6 × 3 - (- 1) × 2 × (- 7) - 1 × (- 4) × 11 = 0

1 - 2 0 2 0 - 4 3 1 - 7 = 1 × 0 × (- 7) + (- 2) × (- 4) × 3 + 0 × 2 × 1 - 0 × 0 × 3 - (- 2) × 2 × (- 7) - 1 × (- 4) × 1 = 0

1 - 2 0 6 0 - 4 11 1 - 7 = (- 1) × 0 × (- 7) + (- 2) × (- 4) × 11 + 0 × 6 × 1 - 0 × 0 × 11 - ( - 2) × 6 × (- 7) - (- 1) × (- 4) × 1 = 0

الصغرى من الدرجة الثالثة تساوي صفرًا، وبالتالي فإن رتبة المصفوفة هي اثنان.

إجابة : المرتبة (أ) = 2.

إيجاد رتبة مصفوفة باستخدام طريقة الحدود الصغرى

التعريف 3

الحدود طريقة ثانوية - طريقة تتيح لك الحصول على نتائج من خلال عمل حسابي أقل.

حافة طفيفة - قاصر M o k (k + 1) من الترتيب العاشر للمصفوفة A، التي تحد القاصر M من الرتبة k من المصفوفة A، إذا كانت المصفوفة التي تتوافق مع القاصر M o k "تحتوي" على المصفوفة التي تتوافق مع قاصر م.

ببساطة، يتم الحصول على المصفوفة التي تتوافق مع الحد الأدنى M من المصفوفة المقابلة مع الحد الأدنى M o k عن طريق حذف عناصر صف واحد وعمود واحد.

مثال 3

أوجد رتبة المصفوفة:

أ = 1 2 0 - 1 3 - 2 0 3 7 1 3 4 - 2 1 1 0 0 3 6 5

للعثور على الرتبة نأخذ المرتبة الثانية الثانوية M = 2 - 1 4 1

نكتب جميع القاصرين المجاورين:

1 2 - 1 - 2 0 7 3 4 1 , 2 0 - 1 0 3 7 4 - 2 1 , 2 - 1 3 0 7 1 4 1 1 , 1 2 - 1 3 4 1 0 0 6 , 2 0 - 1 4 - 2 1 0 3 6 , 2 - 1 3 4 1 1 0 6 5 .

لتبرير طريقة تجاور القاصرين، نقدم نظرية لا تحتاج صياغتها إلى برهان.

النظرية 1

إذا كانت جميع العناصر الثانوية المتاخمة للرتبة k من المصفوفة A من الرتبة p في n تساوي صفرًا، فإن جميع العناصر الثانوية من الرتبة (k+1) من المصفوفة A تساوي صفرًا.

خوارزمية الإجراءات :

للعثور على رتبة مصفوفة، ليس من الضروري المرور عبر جميع المصفوفات الثانوية، فقط انظر إلى المصفوفات المجاورة.

إذا كانت القيم الصغرى المجاورة تساوي صفرًا، فإن رتبة المصفوفة هي صفر. إذا كان هناك قاصر واحد على الأقل لا يساوي الصفر، فإننا نعتبر القاصرين المتجاورين.

إذا كانت جميعها صفرًا، فإن المرتبة (أ) هي اثنان. إذا كان هناك على الأقل قاصر واحد غير صفري، فإننا ننتقل إلى النظر في القاصرين المجاورين له. وهكذا، بنفس الطريقة.

مثال 4

أوجد رتبة المصفوفة باستخدام طريقة الحافة الثانوية

أ = 2 1 0 - 1 3 4 2 1 0 - 1 2 1 1 1 - 4 0 0 2 4 - 14

كيفية حل؟

بما أن العنصر 11 من المصفوفة A لا يساوي الصفر، فإننا نأخذ عنصرًا صغيرًا من الدرجة الأولى. لنبدأ بالبحث عن القاصر المجاور الذي يختلف عن الصفر:

2 1 4 2 = 2 × 2 - 1 × 4 = 0 2 0 4 1 = 2 × 1 - 0 × 4 = 2

لقد وجدنا صغرى مجاورة من الدرجة الثانية لا تساوي صفر 2 0 4 1 .

لنعد الحدود الصغرى - (يوجد (4 - 2) × (5 - 2) = 6 قطع).

2 1 0 4 2 1 2 1 1 = 0 ; 2 0 - 1 4 1 0 2 1 1 = 0 ; 2 0 3 4 1 - 1 2 1 - 4 = 0 ; 2 1 0 4 2 1 0 0 2 = 0 ; 2 0 - 1 4 1 0 0 2 4 = 0 ; 2 0 3 4 1 - 1 0 2 - 14 = 0

إجابة : المرتبة (أ) = 2.

إيجاد رتبة مصفوفة باستخدام الطريقة الغوسية (باستخدام التحويلات الأولية)

دعونا نتذكر ما هي التحولات الأولية.

التحولات الأولية:

• عن طريق إعادة ترتيب صفوف (أعمدة) المصفوفة؛
• عن طريق ضرب جميع عناصر أي صف (عمود) من المصفوفة برقم تعسفي غير صفري k؛

عن طريق إضافة عناصر أي صف (عمود) إلى عناصر تتوافق مع صف (عمود) آخر من المصفوفة، والتي يتم ضربها برقم عشوائي k.

التعريف 5

إيجاد رتبة المصفوفة باستخدام الطريقة الغوسية - طريقة تعتمد على نظرية تكافؤ المصفوفة: إذا تم الحصول على المصفوفة B من المصفوفة A باستخدام عدد محدود من التحويلات الأولية، فإن الرتبة (A) = الرتبة (B).

تنبع صحة هذا البيان من تعريف المصفوفة:

• إذا تم إعادة ترتيب صفوف أو أعمدة المصفوفة، يتم تسجيل التغييرات المحددة لها. إذا كانت تساوي الصفر، فعند إعادة ترتيب الصفوف أو الأعمدة تظل مساوية للصفر؛
• في حالة ضرب جميع عناصر أي صف (عمود) من المصفوفة برقم اعتباطي k لا يساوي الصفر، فإن محدد المصفوفة الناتجة يساوي محدد المصفوفة الأصلية مضروبة في ك؛

في حالة إضافة عناصر صف أو عمود معين من المصفوفة إلى العناصر المقابلة لصف أو عمود آخر، والتي يتم ضربها بالرقم k، لا يغير محدده.

جوهر طريقة التحولات الأولية : تقليل المصفوفة التي يجب العثور على رتبتها إلى شبه منحرف باستخدام التحويلات الأولية.

لماذا؟

من السهل جدًا العثور على رتبة المصفوفات من هذا النوع. وهو يساوي عدد الأسطر التي تحتوي على عنصر واحد غير الصفر على الأقل. وبما أن الرتبة لا تتغير عند إجراء التحويلات الأولية، فستكون هذه هي رتبة المصفوفة.

دعونا نوضح هذه العملية:

• بالنسبة للمصفوفات المستطيلة A من الرتبة p في n، والتي يكون عدد صفوفها أكبر من عدد الأعمدة:

أ ~ 1 ب 12 ب 13 ⋯ ب 1 ن - 1 ب 1 ن 0 1 ب 23 ⋯ ب 2 ن - 2 ب 2 ن ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 1 ب ن - 1 ن 0 0 0 ⋯ 0 1 0 0 0 ⋯ 0 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 ⋯ 0 0 , R a n k (A) = n

أ ~ 1 ب 12 ب 13 ⋯ ب 1 ك ب 1 ك + 1 ⋯ ب 1 ن 0 1 ب 23 ⋯ ب 2 ك ب 2 ك + 1 ⋯ ب 2 ن ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 1 ب ك ك + 1 ⋯ ب ك n 0 0 0 ⋯ 0 0 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 0 0 ⋯ 0 , R a n k (A) = k

• بالنسبة للمصفوفات المستطيلة A من الرتبة p by n، والتي يكون عدد صفوفها أقل من عدد الأعمدة:

أ ~ 1 ب 12 ب 13 ⋯ ب 1 ص ب 1 ع + 1 ⋯ ب 1 ن 0 1 ب 23 ⋯ ب 2 ص ب 2 ع + 1 ⋯ ب 2 ن ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 1 ب ع + 1 ⋯ ب p n , R a n k (A) = p

أ ~ 1 ب 12 ب 13 ⋯ ب 1 ك ب 1 ك + 1 ⋯ ب 1 ن 0 1 ب 23 ⋯ ب 2 ك ب 2 ك + 1 ⋯ ب 2 ن ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 1 ب ك ك + 1 ⋯ ب ك ن 0 0 0 ⋯ 0 0 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 0 0 ⋯ 0

• للمصفوفات المربعة A من الرتبة n بواسطة n:

أ ~ 1 ب 12 ب 13 ⋯ ب 1 ن - 1 ب 1 ن 0 1 ب 23 ⋯ ب 2 ن - 1 ب 2 ن ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 1 ب ن - 1 ن 0 0 0 ⋯ 0 1 , ر أ ن ك (أ) = ن

أ ~ 1 ب 12 ب 13 ⋯ ب 1 ك ب 1 ك + 1 ⋯ ب 1 ن 0 1 ب 23 ⋯ ب 2 ك ب 2 ك + 1 ⋯ ب 2 ن ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 1 ب ك ك + 1 ⋯ ب ك n 0 0 0 ⋯ 0 0 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 0 0 ⋯ 0 , R a n k (A) = k , k< n

مثال 5

أوجد رتبة المصفوفة A باستخدام التحويلات الأولية:

أ = 2 1 - 2 6 3 0 0 - 1 1 - 1 2 - 7 5 - 2 4 - 15 7 2 - 4 11

كيفية حل؟

بما أن العنصر a 11 يختلف عن الصفر، فمن الضروري ضرب عناصر الصف الأول من المصفوفة A في 1 a 11 = 1 2:

أ = 2 1 - 2 6 3 0 0 - 1 1 - 1 2 - 7 5 - 2 4 - 15 7 2 - 4 11 ~

نضيف إلى عناصر السطر الثاني العناصر المقابلة لها في السطر الأول مضروبة في (-3). نضيف إلى عناصر السطر الثالث عناصر السطر الأول مضروبة في (-1):

~ أ (1) = 1 1 2 - 1 3 3 0 0 - 1 1 - 1 2 - 7 5 - 2 4 - 15 7 2 - 4 11 ~ أ (2) = = 1 1 2 - 1 3 3 + 1 (- 3) 0 + 1 2 (- 3) 0 + (- 1) (- 3) - 1 + 3 (- 3) 1 + 1 (- 3) - 1 + 1 2 (- 3) 2 + (- 1) (- 1) - 7 + 3 (- 1) 5 + 1 (- 5) - 2 + 1 2 (- 5) 4 + (- 1) (- 5) - 15 + 3 (- 5) 7 + 1 (- 7) 2 + 1 2 (- 7) - 4 + (- 1) (- 7) 11 + 3 (- 7) =

1 1 2 - 1 3 0 - 3 2 3 - 10 0 - 3 2 3 - 10 0 - 9 2 9 - 30 0 - 3 2 3 - 10

العنصر أ 22 (2) ليس صفرًا، لذلك نضرب عناصر الصف الثاني من المصفوفة أ في أ (2) في 1 أ 22 (2) = - 2 3:

أ (3) = 1 1 2 - 1 3 0 1 - 2 20 3 0 - 3 2 3 - 10 0 - 9 2 9 - 30 0 - 3 2 3 - 10 ~ أ (4) = 1 1 2 - 1 3 0 1 - 2 20 3 0 - 3 2 + 1 3 2 3 + (- 2) 3 2 - 10 + 20 3 × 3 2 0 - 9 2 + 1 9 2 9 + (- 2) 9 2 - 30 + 20 3 × 9 2 0 - 3 2 + 1 3 2 3 + (- 2) 3 2 - 10 + 20 3 × 3 2 = = 1 1 2 - 1 3 0 1 - 2 20 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

• نضيف إلى عناصر الصف الثالث من المصفوفة الناتجة العناصر المقابلة للصف الثاني مضروبة في 3 2؛
• إلى عناصر السطر الرابع - عناصر السطر الثاني مضروبة في 9 2؛
• إلى عناصر الصف الخامس - عناصر الصف الثاني مضروبة في 3 2.

جميع عناصر الصف صفر. وهكذا، باستخدام التحويلات الأولية، قمنا بإحضار المصفوفة إلى شكل شبه منحرف، حيث يمكن أن نرى أن R an k (A (4)) = 2. ويترتب على ذلك أن رتبة المصفوفة الأصلية تساوي أيضًا اثنين.

تعليق

إذا قمت بإجراء تحويلات أولية، فلا يُسمح بالقيم التقريبية!

إذا لاحظت وجود خطأ في النص، فيرجى تحديده والضغط على Ctrl+Enter

تعتبر رتبة المصفوفة خاصية عددية مهمة. المشكلة الأكثر شيوعًا التي تتطلب العثور على رتبة المصفوفة هي التحقق من اتساق نظام المعادلات الجبرية الخطية. في هذه المقالة سنقدم مفهوم رتبة المصفوفة وننظر في طرق العثور عليها. لفهم المادة بشكل أفضل، سنقوم بتحليل الحلول لعدة أمثلة بالتفصيل.

التنقل في الصفحة.

تحديد رتبة المصفوفة والمفاهيم الإضافية اللازمة.

قبل التعبير عن تعريف رتبة المصفوفة، يجب أن يكون لديك فهم جيد لمفهوم القاصر، وإيجاد القاصرين للمصفوفة يعني القدرة على حساب المحدد. لذا، إذا لزم الأمر، نوصي بأن تتذكر نظرية المقالة، وطرق إيجاد محدد المصفوفة، وخصائص المحدد.

لنأخذ المصفوفة A من الترتيب. دع k يكون عددًا طبيعيًا لا يتجاوز أصغر الأرقام m و n، أي، .

تعريف.

طلب k ثانويالمصفوفة A هي المحدد لمصفوفة مرتبة مربعة، مكونة من عناصر المصفوفة A، والتي تقع في صفوف k وأعمدة k محددة مسبقًا، ويتم الحفاظ على ترتيب عناصر المصفوفة A.

بمعنى آخر، إذا قمنا في المصفوفة A بحذف الصفوف (p–k) والأعمدة (n–k)، ومن العناصر المتبقية قمنا بإنشاء مصفوفة، مع الحفاظ على ترتيب عناصر المصفوفة A، فإن محدد المصفوفة الناتجة هي ثانوية من الرتبة k للمصفوفة A.

دعونا نلقي نظرة على تعريف المصفوفة الثانوية باستخدام مثال.

النظر في المصفوفة .

دعونا نكتب العديد من العناصر الثانوية من الدرجة الأولى لهذه المصفوفة. على سبيل المثال، إذا اخترنا الصف الثالث والعمود الثاني من المصفوفة A، فإن اختيارنا يتوافق مع مصفوفة ثانوية من الدرجة الأولى . بمعنى آخر، للحصول على هذا القاصر، قمنا بشطب الصفين الأول والثاني، وكذلك الأعمدة الأول والثالث والرابع من المصفوفة A، وقمنا بتكوين محدد من العنصر المتبقي. إذا اخترنا الصف الأول والعمود الثالث من المصفوفة A، فسنحصل على قيمة ثانوية .

دعونا نوضح إجراءات الحصول على القاصرين من الدرجة الأولى
و .

وبالتالي، فإن العناصر الثانوية من الدرجة الأولى للمصفوفة هي عناصر المصفوفة نفسها.

دعونا نعرض العديد من القاصرين من الدرجة الثانية. حدد صفين وعمودين. على سبيل المثال، خذ الصفين الأول والثاني والعمودين الثالث والرابع. بهذا الاختيار لدينا قاصر من الدرجة الثانية . يمكن أيضًا تكوين هذا القاصر عن طريق حذف الصف الثالث والعمودين الأول والثاني من المصفوفة A.

آخر ثانوي من الدرجة الثانية للمصفوفة A هو .

دعونا نوضح بناء هؤلاء القصر من الدرجة الثانية
و .

وبالمثل، يمكن العثور على قاصرين من الدرجة الثالثة للمصفوفة A. نظرًا لوجود ثلاثة صفوف فقط في المصفوفة A، فإننا نختارها جميعًا. إذا اخترنا الأعمدة الثلاثة الأولى من هذه الصفوف، فسنحصل على ثانوية من الدرجة الثالثة

ويمكن أيضًا إنشاؤها عن طريق شطب العمود الأخير من المصفوفة A.

قاصر آخر من الدرجة الثالثة هو

تم الحصول عليها عن طريق حذف العمود الثالث من المصفوفة A.

وهنا صورة توضح بناء هذه القاصرين من الدرجة الثالثة
و .

بالنسبة لمصفوفة معينة A لا توجد رتبة ثانوية أعلى من الثالثة، حيث أن .

ما عدد العناصر الثانوية من الرتبة k الموجودة في المصفوفة A من الرتبة؟

يمكن حساب عدد القصر من الرتبة k كـ حيث و - عدد المجموعات من p إلى k ومن n إلى k على التوالي.

كيف يمكننا بناء جميع العناصر الثانوية من الرتبة k من المصفوفة A من الرتبة p بواسطة n؟

سنحتاج إلى العديد من أرقام صفوف المصفوفة والعديد من أرقام الأعمدة. نكتب كل شيء مجموعات من العناصر p بواسطة k(ستتوافق مع الصفوف المحددة من المصفوفة A عند إنشاء رتبة ثانوية من الرتبة k). إلى كل مجموعة من أرقام الصفوف نضيف بشكل تسلسلي جميع مجموعات عناصر n من أرقام الأعمدة k. ستساعد هذه المجموعات من مجموعات أرقام الصفوف وأرقام الأعمدة للمصفوفة A في تكوين جميع العناصر الثانوية من الرتبة k.

دعونا ننظر إليها مع مثال.

مثال.

أوجد جميع العناصر الثانوية من الدرجة الثانية للمصفوفة.

حل.

وبما أن ترتيب المصفوفة الأصلية هو 3 في 3، فإن مجموع العناصر الثانوية من الدرجة الثانية سيكون .

دعونا نكتب جميع المجموعات المكونة من 3 إلى 2 أرقام صف من المصفوفة A: 1، 2؛ 1، 3 و 2، 3. جميع المجموعات المكونة من 3 إلى 2 أرقام أعمدة هي 1، 2؛ 1، 3 و 2، 3.

لنأخذ الصفين الأول والثاني من المصفوفة A. وباختيار العمودين الأول والثاني والعمودين الأول والثالث والعمودين الثاني والثالث لهذه الصفوف نحصل على القاصرين على التوالي

بالنسبة للصفين الأول والثالث، مع اختيار مماثل للأعمدة، لدينا

يبقى إضافة العمود الأول والثاني والأول والثالث والثاني والثالث إلى الصفين الثاني والثالث:

إذن، تم العثور على جميع العناصر التسعة الثانوية من الدرجة الثانية للمصفوفة A.

الآن يمكننا المضي قدمًا في تحديد رتبة المصفوفة.

تعريف.

رتبة المصفوفةهو أعلى ترتيب للقاصر غير الصفر في المصفوفة.

يُشار إلى رتبة المصفوفة A بالرتبة(A) . يمكنك أيضًا العثور على التسميات Rg(A) أو Rang(A) .

ومن تعريفات رتبة المصفوفة والمصفوفة الصغرى، يمكننا أن نستنتج أن رتبة المصفوفة الصفرية تساوي صفرًا، ورتبة المصفوفة غير الصفرية لا تقل عن واحد.

العثور على رتبة المصفوفة حسب التعريف.

لذا، الطريقة الأولى للعثور على رتبة المصفوفة هي طريقة إحصاء القاصرين. تعتمد هذه الطريقة على تحديد رتبة المصفوفة.

دعونا نحتاج إلى إيجاد رتبة المصفوفة A من الرتبة.

دعونا تصف بإيجاز خوارزميةوحل هذه المشكلة عن طريق تعداد القاصرين.

إذا كان هناك عنصر واحد على الأقل في المصفوفة يختلف عن الصفر، فإن رتبة المصفوفة تساوي واحدًا على الأقل (نظرًا لوجود عنصر ثانوي من الدرجة الأولى لا يساوي الصفر).

بعد ذلك ننظر إلى القاصرين من الدرجة الثانية. إذا كانت جميع العناصر الثانوية من الدرجة الثانية تساوي صفرًا، فإن رتبة المصفوفة تساوي واحدًا. إذا كان هناك على الأقل صغرى واحدة غير صفرية من الدرجة الثانية، فإننا ننتقل إلى تعداد صغريات الدرجة الثالثة، وتكون رتبة المصفوفة تساوي اثنين على الأقل.

وبالمثل، إذا كانت جميع العناصر الثانوية من الدرجة الثالثة صفرًا، فإن رتبة المصفوفة هي اثنان. إذا كان هناك على الأقل صغرى واحدة من الدرجة الثالثة غير الصفر، فإن رتبة المصفوفة تكون على الأقل ثلاثة، وننتقل إلى تعداد صغريات الدرجة الرابعة.

لاحظ أن رتبة المصفوفة لا يمكن أن تتجاوز أصغر الأرقام p و n.

مثال.

أوجد رتبة المصفوفة .

حل.

وبما أن المصفوفة ليست صفراً فإن رتبتها لا تقل عن واحد.

الصغرى من الدرجة الثانية يختلف عن الصفر، وبالتالي فإن رتبة المصفوفة A هي اثنان على الأقل. ننتقل إلى تعداد القاصرين من الدرجة الثالثة. مجموع منهم أشياء.

جميع القاصرين من الدرجة الثالثة يساوي الصفر. وبالتالي فإن رتبة المصفوفة هي اثنان.

إجابة:

الرتبة (أ) = 2 .

إيجاد رتبة مصفوفة باستخدام طريقة الحدود الصغرى.

هناك طرق أخرى للعثور على رتبة المصفوفة التي تسمح لك بالحصول على النتيجة بعمل حسابي أقل.

إحدى هذه الطرق هي طريقة الحافة البسيطة.

دعونا نتعامل مع مفهوم الحافة الثانوية.

يقال أن مصفوفة صغيرة M ok من الرتبة (k+1) من المصفوفة A تحد صغرى M من الرتبة k من المصفوفة A إذا كانت المصفوفة المقابلة للصغرى M ok "تحتوي" على المصفوفة المقابلة للمصفوفة الثانوية م .

بمعنى آخر، يتم الحصول على المصفوفة المقابلة للصغرى المجاورة M من المصفوفة المقابلة للصغيرة المجاورة M طيب عن طريق حذف عناصر صف واحد وعمود واحد.

على سبيل المثال، النظر في المصفوفة واتخاذ أمر ثانوي قاصر. دعنا نكتب جميع القاصرين المجاورين:

طريقة تجاور القاصرين مبررة بالنظرية التالية (نقدم صياغتها بدون برهان).

نظرية.

إذا كانت جميع العناصر الثانوية المتاخمة للرتبة k من المصفوفة A من الرتبة p في n تساوي صفرًا، فإن جميع العناصر الثانوية من الرتبة (k+1) من المصفوفة A تساوي صفرًا.

وبالتالي، للعثور على رتبة مصفوفة، ليس من الضروري المرور عبر جميع العناصر الثانوية المتاخمة بشكل كافٍ. تم العثور على عدد القاصرين المتاخمين للصغرى من الرتبة k للمصفوفة A من الرتبة بواسطة الصيغة . لاحظ أنه لا يوجد المزيد من العناصر الثانوية المتاخمة للرتبة k-th الثانوية للمصفوفة A أكثر من وجود (k + 1) الثانوية للمصفوفة A. لذلك، في معظم الحالات، يكون استخدام طريقة مجاورة القاصرين أكثر ربحية من مجرد حصر جميع القاصرين.

دعنا ننتقل إلى إيجاد رتبة المصفوفة باستخدام طريقة الحدود الصغرى. دعونا تصف بإيجاز خوارزميةهذه الطريقة.

إذا كانت المصفوفة A غير صفرية، فإننا نأخذ أي عنصر من عناصر المصفوفة A مختلفًا عن الصفر، باعتباره عنصرًا ثانويًا من الدرجة الأولى. دعونا نلقي نظرة على القاصرين المجاورة لها. وإذا كانت جميعها تساوي صفرًا، فإن رتبة المصفوفة تساوي واحدًا. إذا كان هناك على الأقل قاصر واحد غير صفري (ترتيبه اثنان)، فإننا ننتقل إلى النظر في القاصرين المجاورين له. إذا كانت جميعها صفرًا، فإن المرتبة (أ) = 2. إذا كان هناك على الأقل أحد القاصرين المجاورين غير صفر (ترتيبه ثلاثة)، فإننا نعتبر القاصرين المجاورين له. وما إلى ذلك وهلم جرا. ونتيجة لذلك، Rank(A) = k إذا كانت جميع العناصر الثانوية المجاورة للترتيب (k + 1) من المصفوفة A تساوي الصفر، أو Rank(A) = min(p, n) إذا كان هناك غير صفر قاصر يحد قاصر الترتيب (min( p, n) – 1) .

دعونا نلقي نظرة على طريقة تحديد الحدود الثانوية للعثور على رتبة مصفوفة باستخدام مثال.

مثال.

أوجد رتبة المصفوفة من خلال طريقة الحدود مع القاصرين.

حل.

بما أن العنصر 1 1 من المصفوفة A ليس صفرًا، فإننا نعتبره عنصرًا ثانويًا من الدرجة الأولى. لنبدأ بالبحث عن القاصر المجاور الذي يختلف عن الصفر:

تم العثور على حافة ثانوية من الدرجة الثانية تختلف عن الصفر. دعونا نلقي نظرة على القاصرين المجاورين لهم ( أشياء):

جميع العناصر الثانوية المجاورة للمصفوفة الثانوية من الدرجة الثانية تساوي صفرًا، وبالتالي فإن رتبة المصفوفة A تساوي اثنين.

إجابة:

الرتبة (أ) = 2 .

مثال.

أوجد رتبة المصفوفة باستخدام القاصرين المجاورة.

حل.

كعنصر ثانوي غير الصفر من الدرجة الأولى، نأخذ العنصر a 1 1 = 1 من المصفوفة A. القاصر المحيط من الدرجة الثانية لا يساوي الصفر. ويحد هذا القاصر قاصر من الدرجة الثالثة
. وبما أنها لا تساوي صفرًا ولا يوجد حد صغير لها، فإن رتبة المصفوفة A تساوي ثلاثة.

إجابة:

الرتبة (أ) = 3 .

إيجاد الرتبة باستخدام تحويلات المصفوفات الأولية (طريقة غاوس).

لنفكر في طريقة أخرى للعثور على رتبة المصفوفة.

تسمى تحويلات المصفوفة التالية بالتحويلات الأولية:

• إعادة ترتيب صفوف (أو أعمدة) المصفوفة؛
• ضرب جميع عناصر أي صف (عمود) من المصفوفة برقم عشوائي k، يختلف عن الصفر؛
• إضافة إلى عناصر الصف (العمود) العناصر المقابلة لصف آخر (عمود) من المصفوفة، مضروبة في رقم تعسفي ك.

تسمى المصفوفة B مكافئة للمصفوفة A، إذا تم الحصول على B من A باستخدام عدد محدود من التحويلات الأولية. يُشار إلى تكافؤ المصفوفات بالرمز "~" أي يُكتب A ~ B.

يعتمد العثور على رتبة مصفوفة باستخدام تحويلات المصفوفة الأولية على العبارة التالية: إذا تم الحصول على المصفوفة B من المصفوفة A باستخدام عدد محدود من التحويلات الأولية، فإن Rank(A) = Rank(B) .

صحة هذا البيان تنبع من خصائص محدد المصفوفة:

• عند إعادة ترتيب صفوف (أو أعمدة) مصفوفة، يتم الإشارة إلى التغييرات المحددة لها. إذا كانت تساوي الصفر، فعند إعادة ترتيب الصفوف (الأعمدة)، تظل مساوية للصفر.
• عند ضرب جميع عناصر أي صف (عمود) من المصفوفة برقم تعسفي k غير الصفر، فإن محدد المصفوفة الناتجة يساوي محدد المصفوفة الأصلية مضروبًا في k. إذا كان محدد المصفوفة الأصلية يساوي الصفر، فبعد ضرب جميع عناصر أي صف أو عمود بالرقم k، فإن محدد المصفوفة الناتجة سيكون أيضًا مساويًا للصفر.
• إضافة إلى عناصر صف معين (عمود) من المصفوفة العناصر المقابلة لصف آخر (عمود) من المصفوفة، مضروبة في عدد معين ك، لا يغير محدده.

جوهر طريقة التحولات الأوليةيتمثل في تقليل المصفوفة التي نحتاج إلى إيجاد رتبتها إلى مصفوفة شبه منحرفة (في حالة معينة، إلى مصفوفة مثلثة عليا) باستخدام التحويلات الأولية.

لماذا هذا يحدث؟ من السهل جدًا العثور على رتبة المصفوفات من هذا النوع. وهو يساوي عدد الأسطر التي تحتوي على عنصر واحد غير الصفر على الأقل. وبما أن رتبة المصفوفة لا تتغير عند إجراء التحويلات الأولية، فإن القيمة الناتجة ستكون رتبة المصفوفة الأصلية.

نعطي الرسوم التوضيحية للمصفوفات، والتي ينبغي الحصول على واحدة منها بعد التحولات. مظهرها يعتمد على ترتيب المصفوفة.

هذه الرسوم التوضيحية هي قوالب سنقوم بتحويل المصفوفة A إليها.

دعونا تصف خوارزمية الطريقة.

دعونا نحتاج إلى إيجاد رتبة مصفوفة غير صفرية A من الرتبة (p يمكن أن تساوي n).

لذا، . دعونا نضرب جميع عناصر الصف الأول من المصفوفة A في . في هذه الحالة، نحصل على مصفوفة مكافئة، نشير إليها A (1):

إلى عناصر الصف الثاني من المصفوفة الناتجة A (1) نضيف العناصر المقابلة للصف الأول مضروبة في . إلى عناصر السطر الثالث نضيف العناصر المقابلة للسطر الأول مضروبة في . وهكذا حتى السطر p-th. لنحصل على مصفوفة مكافئة، نرمز لها بـ A (2):

إذا كانت جميع عناصر المصفوفة الناتجة الموجودة في الصفوف من الثاني إلى p-th تساوي صفرًا، فإن رتبة هذه المصفوفة تساوي واحدًا، وبالتالي تكون رتبة المصفوفة الأصلية تساوي واحدًا إلى واحد.

إذا كان هناك عنصر واحد غير صفري على الأقل في السطور من الثاني إلى p-th، فإننا نستمر في إجراء التحويلات. علاوة على ذلك، فإننا نتصرف بنفس الطريقة تمامًا، ولكن فقط مع جزء المصفوفة A (2) المحدد في الشكل.

إذا، فإننا نعيد ترتيب الصفوف و (أو) الأعمدة في المصفوفة A (2) بحيث يصبح العنصر "الجديد" غير صفر.

رتبة المصفوفةويسمى الترتيب الأعظم لقاصره غير الصفر. يُشار إلى رتبة المصفوفة بـ أو .

إذا كانت جميع الرتب الثانوية لمصفوفة معينة تساوي صفرًا، فإن جميع الرتب الثانوية الأعلى لمصفوفة معينة تساوي أيضًا صفرًا. وهذا يتبع من تعريف المحدد. وهذا يعني وجود خوارزمية للعثور على رتبة المصفوفة.

إذا كانت جميع العناصر الثانوية من الدرجة الأولى (عناصر المصفوفة) تساوي الصفر، فإن . إذا كان واحد على الأقل من العناصر الثانوية من الدرجة الأولى يختلف عن الصفر، وجميع العناصر الثانوية من الدرجة الثانية تساوي الصفر، إذن . علاوة على ذلك، يكفي أن ننظر فقط إلى هؤلاء القاصرين من الدرجة الثانية الذين يحدون قاصرًا من الدرجة الأولى غير الصفر. إذا كان هناك قاصر من الدرجة الثانية غير الصفر، فافحص القاصرين من الدرجة الثالثة المتاخمين للقاصر من الدرجة الثانية غير الصفر. ويستمر هذا حتى يصلوا إلى إحدى الحالتين: إما أن جميع القاصرين من الرتبة، المتاخمين لصغر غير الصفر من الرتبة ث، يساوي الصفر، أو لا يوجد مثل هؤلاء القاصرين. ثم .

مثال 10. احسب رتبة المصفوفة.

الدرجة الأولى الثانوية (العنصر) ليست صفراً. والقاصر المحيط به أيضًا لا يساوي صفرًا.

كل هذه القاصرين تساوي الصفر، وهو ما يعني .

الخوارزمية المعطاة للعثور على رتبة المصفوفة ليست مناسبة دائمًا، لأنها مرتبطة بحساب عدد كبير من المحددات. عند حساب رتبة المصفوفة، يكون من الأنسب استخدام التحويلات الأولية، والتي يتم من خلالها تقليل المصفوفة إلى شكل بسيط بحيث يكون من الواضح ما هي رتبتها.

تحويلات المصفوفة الأوليةتسمى التحولات التالية:

Ø ضرب صف (عمود) من المصفوفة برقم غير الصفر؛

Ø إضافة صف (عمود) إلى صف (عمود) آخر مضروبًا في رقم عشوائي.

بولوجوردانوفتحويل صفوف المصفوفة:

مع عنصر الحل هي المجموعة التالية من التحويلات مع صفوف المصفوفة:

Ø أضف 0 إلى السطر الأول، مضروبًا في الرقم، وما إلى ذلك؛

Ø إلى السطر الأخير أضف yu مضروبًا في الرقم .

تحويل شبه الأردن لأعمدة المصفوفةمع عنصر الحل هي المجموعة التالية من التحويلات مع أعمدة المصفوفة:

Ø أضف الرقم إلى العمود الأول مضروبًا في الرقم وما إلى ذلك؛

Ø أضف الرقم إلى العمود الأخير مضروبًا في الرقم.

وبعد إجراء هذه التحويلات يتم الحصول على المصفوفة:

التحويل شبه الأردني لصفوف أو أعمدة مصفوفة مربعة لا يغير من محدداتها.

تحويلات المصفوفة الأولية لا تغير رتبتها. دعونا نوضح بالمثال كيفية حساب رتبة المصفوفة باستخدام التحويلات الأولية. الصفوف (الأعمدة) تعتمد خطيا.

تعريف. رتبة المصفوفةهو الحد الأقصى لعدد الصفوف المستقلة خطيًا التي تعتبر متجهات.

النظرية 1 على رتبة المصفوفة. رتبة المصفوفةيسمى الحد الأقصى لرتبة ثانوية غير صفرية للمصفوفة.

لقد سبق أن ناقشنا مفهوم القاصر في درس المحددات، والآن سنقوم بتعميمه. لنأخذ عددًا معينًا من الصفوف وعددًا معينًا من الأعمدة في المصفوفة، وهذا "الكم" يجب أن يكون أقل من عدد الصفوف والأعمدة في المصفوفة، وبالنسبة للصفوف والأعمدة، يجب أن يكون هذا "الكم" هو العدد نفس الرقم. وبعد ذلك، عند تقاطع عدد الصفوف وعدد الأعمدة، ستكون هناك مصفوفة ذات رتبة أقل من المصفوفة الأصلية. المحدد عبارة عن مصفوفة وسيكون ثانويًا من الترتيب k إذا تمت الإشارة إلى "البعض" المذكور (عدد الصفوف والأعمدة) بالرمز k.

تعريف.صغير ( ص+1) الترتيب الذي يقع ضمنه القاصر المختار ص-يسمى الترتيب الحدودي لقاصر معين.

الطريقتان الأكثر استخدامًا هما العثور على رتبة المصفوفة. هذا طريقة الحدود مع القاصرينو طريقة التحولات الأولية(طريقة غاوس).

عند استخدام طريقة الحدود الثانوية، يتم استخدام النظرية التالية.

النظرية 2 على رتبة المصفوفة.إذا كان يمكن أن يتكون قاصر من عناصر المصفوفة صالترتيب الرابع لا يساوي الصفر، فرتبة المصفوفة تساوي ص.

عند استخدام طريقة التحويل الأولية، يتم استخدام الخاصية التالية:

إذا تم الحصول، من خلال التحويلات الأولية، على مصفوفة شبه منحرفة تعادل المصفوفة الأصلية، إذن رتبة هذه المصفوفةهو عدد الأسطر فيه غير الأسطر المكونة بالكامل من الأصفار.

إيجاد رتبة مصفوفة باستخدام طريقة الحدود الصغرى

القاصر المُرفق هو قاصر ذو رتبة أعلى بالنسبة إلى القاصر المُعطى إذا كان هذا القاصر ذو الرتبة الأعلى يحتوي على القاصر المُعطى.

على سبيل المثال، نظرا للمصفوفة

دعونا نأخذ قاصر

سيكون القاصرون المجاورون هم:

خوارزمية للعثور على رتبة المصفوفةالتالي.

1. ابحث عن القاصرين من الدرجة الثانية الذين لا يساويون الصفر. إذا كانت جميع العناصر الثانوية من الدرجة الثانية تساوي صفرًا، فإن رتبة المصفوفة ستكون تساوي واحدًا ( ص =1 ).

2. إذا كان هناك على الأقل صغرى واحدة من الرتبة الثانية لا تساوي صفراً، فإننا نؤلف الصغرى المجاورة من الرتبة الثالثة. إذا كانت جميع الحدود الثانوية من الدرجة الثالثة تساوي صفرًا، فإن رتبة المصفوفة تساوي اثنين ( ص =2 ).

3. إذا كان واحد على الأقل من القاصرين المجاورين من الدرجة الثالثة لا يساوي الصفر، فإننا نؤلف القاصرين المجاورين. إذا كانت جميع العناصر الثانوية المجاورة من الرتبة الرابعة تساوي صفرًا، فإن رتبة المصفوفة تساوي ثلاثة ( ص =2 ).

4. استمر بهذه الطريقة طالما أن حجم المصفوفة يسمح بذلك.

مثال 1.أوجد رتبة المصفوفة

.

حل. الصغرى من الدرجة الثانية .

دعونا الحدود عليه. سيكون هناك أربعة قاصرين مجاورين:

,

,

وبالتالي فإن جميع الحدود الثانوية من الرتبة الثالثة تساوي صفراً، وبالتالي فإن رتبة هذه المصفوفة تساوي اثنين ( ص =2 ).

مثال 2.أوجد رتبة المصفوفة

حل. رتبة هذه المصفوفة تساوي 1 حيث أن جميع صغريات الرتبة الثانية لهذه المصفوفة تساوي صفر (وفي هذا كما في حالات القاصرين المتاخمين في المثالين التاليين ندعوكم عزيزي الطلاب للتحقق من ذلك) أنفسهم، ربما باستخدام قواعد حساب المحددات)، ومن بين العناصر الثانوية من الدرجة الأولى، أي من بين عناصر المصفوفة، هناك عناصر غير صفرية.

مثال 3.أوجد رتبة المصفوفة

حل. الرتبة الثانية الثانوية لهذه المصفوفة هي، وجميع الرتبة الثالثة الثانوية لهذه المصفوفة تساوي صفرًا. ولذلك فإن رتبة هذه المصفوفة هي اثنان.

مثال 4.أوجد رتبة المصفوفة

حل. رتبة هذه المصفوفة هي 3، حيث أن الرتبة الثالثة الوحيدة لهذه المصفوفة هي 3.

إيجاد رتبة مصفوفة باستخدام طريقة التحويلات الأولية (طريقة غاوس)

بالفعل في المثال 1، من الواضح أن مهمة تحديد رتبة المصفوفة باستخدام طريقة الحدود الثانوية تتطلب حساب عدد كبير من المحددات. ومع ذلك، هناك طريقة لتقليل مقدار الحساب إلى الحد الأدنى. تعتمد هذه الطريقة على استخدام تحويلات المصفوفات الأولية وتسمى أيضًا طريقة غاوس.

تُفهم العمليات التالية على أنها تحويلات مصفوفة أولية:

1) ضرب أي صف أو عمود في المصفوفة برقم غير الصفر؛

2) إضافة إلى عناصر أي صف أو عمود من المصفوفة العناصر المقابلة لصف أو عمود آخر، مضروبة في نفس العدد؛

3) تبديل صفين أو عمودين من المصفوفة؛

4) إزالة الصفوف "الخالية"، أي تلك التي تساوي جميع عناصرها الصفر؛

5) حذف جميع الخطوط المتناسبة ما عدا خط واحد.

نظرية.أثناء التحويل الأولي، لا تتغير رتبة المصفوفة. بمعنى آخر، إذا استخدمنا التحويلات الأولية من المصفوفة أذهب إلى المصفوفة ب، الذي - التي .

>>رتبة المصفوفة

رتبة المصفوفة

تحديد رتبة المصفوفة

النظر في مصفوفة مستطيلة. إذا اخترنا بشكل تعسفي في هذه المصفوفة كخطوط و كالأعمدة، فإن العناصر الموجودة عند تقاطع الصفوف والأعمدة المحددة تشكل مصفوفة مربعة بالترتيب k. يسمى محدد هذه المصفوفة قاصر من الترتيب kالمصفوفة A. من الواضح أن المصفوفة A بها عناصر ثانوية من أي ترتيب من 1 إلى أصغر الأرقام m وn. من بين جميع العناصر الثانوية غير الصفرية في المصفوفة A، هناك على الأقل عامل ثانوي واحد ترتيبه هو الأكبر. تسمى أكبر الطلبات الثانوية غير الصفرية لمصفوفة معينة رتبةالمصفوفات. إذا كانت رتبة المصفوفة A هي ص، هذا يعني أن المصفوفة A لها ترتيب ثانوي غير الصفر صبل كل قاصر من أجل أكبر من ص، يساوي الصفر. يُشار إلى رتبة المصفوفة A بالرمز r(A). من الواضح أن العلاقة قائمة

حساب رتبة المصفوفة باستخدام القاصرين

يتم العثور على رتبة المصفوفة إما بطريقة الحدود الثانوية أو بطريقة التحويلات الأولية. عند حساب رتبة مصفوفة باستخدام الطريقة الأولى، يجب عليك الانتقال من الترتيب الثانوي إلى المستوى الأعلى. إذا تم بالفعل العثور على قاصر D من الرتبة k للمصفوفة A، يختلف عن الصفر، فإن الرتب الثانوية (k+1) المتاخمة للمصفوفة D الثانوية فقط هي التي تتطلب الحساب، أي. تحتوي على أنها قاصر. وإذا كانت جميعها تساوي صفرًا، فإن رتبة المصفوفة تساوي ك.

مثال 1.أوجد رتبة المصفوفة باستخدام طريقة الحدود الصغرى

.

حل.نبدأ بالقاصرين من الدرجة الأولى، أي. من عناصر المصفوفة A. دعونا نختار، على سبيل المثال، (عنصر) ثانوي M 1 = 1، الموجود في الصف الأول والعمود الأول. الحدود بمساعدة الصف الثاني والعمود الثالث نحصل على قاصر M 2 = مختلف عن الصفر. ننتقل الآن إلى القاصرين من الدرجة الثالثة المتاخمين لـ M2. يوجد اثنان منهم فقط (يمكنك إضافة عمود ثانٍ أو رابع). دعونا نحسبهم: = 0. وبالتالي، تبين أن جميع القاصرين المتاخمين من الدرجة الثالثة يساوي الصفر. رتبة المصفوفة A هي اثنان.

حساب رتبة المصفوفة باستخدام التحويلات الأولية

ابتدائيتسمى تحويلات المصفوفة التالية:

1) التقليب من أي صفين (أو أعمدة)،

2) ضرب صف (أو عمود) برقم غير الصفر،

3) إضافة صف (أو عمود) إلى صف (أو عمود) آخر (أو عمود) مضروبًا في رقم معين.

يتم استدعاء المصفوفتين مقابلإذا تم الحصول على أحدهما من الآخر باستخدام مجموعة محدودة من التحويلات الأولية.

المصفوفات المتكافئة ليست متساوية بشكل عام، لكن رتبها متساوية. إذا كانت المصفوفتان A و B متكافئتين، فسيتم كتابتهما على النحو التالي: A~ ب.

العنوان الأساسيالمصفوفة هي مصفوفة يوجد فيها في بداية القطر الرئيسي عدة مصفوفات متتالية (يمكن أن يكون عددها صفرًا)، وجميع العناصر الأخرى تساوي الصفر، على سبيل المثال،

.

باستخدام التحويلات الأولية للصفوف والأعمدة، يمكن اختزال أي مصفوفة إلى مصفوفة أساسية. رتبة المصفوفة الأساسية تساوي عدد المصفوفات الموجودة على قطرها الرئيسي.

مثال 2أوجد رتبة المصفوفة

أ=

وإحضاره إلى الشكل القانوني.

حل.من السطر الثاني اطرح الأول وأعد ترتيب هذه الأسطر:

.

الآن من السطرين الثاني والثالث نطرح الأول مضروبًا في 2 و 5 على التوالي:

;

اطرح الأول من السطر الثالث؛ نحصل على مصفوفة

ب = ,

وهو ما يعادل المصفوفة A، حيث يتم الحصول عليها منها باستخدام مجموعة محدودة من التحويلات الأولية. من الواضح أن رتبة المصفوفة B هي 2، وبالتالي r(A)=2. يمكن بسهولة اختزال المصفوفة B إلى المستوى الأساسي. وبطرح العمود الأول مضروبا بالأرقام المناسبة من جميع العناصر اللاحقة، ننتقل إلى الصفر جميع عناصر الصف الأول، باستثناء الأول، ولا تتغير عناصر الصفوف المتبقية. بعد ذلك، بطرح العمود الثاني، مضروبًا بالأرقام المناسبة، من جميع العناصر اللاحقة، ننتقل إلى الصفر لجميع عناصر الصف الثاني، باستثناء الثاني، ونحصل على المصفوفة الأساسية:

.