Успоредни прави, признаци и условия за успоредни прави. Н. Никитин Геометрия Ако 2 успоредни прави се пресичат от трета, то

1) Ако при пресичане на две прави с напречна ъглите са равни, тогава правите са успоредни.

2) Ако, когато две прави се пресичат с напречна, съответните ъгли са равни, тогава правите са успоредни.

3) Ако при пресичане на две прави с напречна сумата от едностранните ъгли е равна на 180°, то правите са успоредни.

3. През точка, която не лежи на дадена права, минава само една права, успоредна на дадената.

4 Ако права пресича една от две успоредни прави, тогава тя пресича и другата.

5. Ако две прави са успоредни на трета права, тогава те са успоредни.

Свойства на успоредните прави

1) Ако две успоредни прави са пресечени от напречна, то пресичащите се ъгли са равни.

2) Ако две успоредни прави се пресичат от напречна, то съответните ъгли са равни.

3) Ако две успоредни прави се пресичат от напречна, тогава сумата от едностранните ъгли е 180°.

7. Ако правата е перпендикулярна на една от двете успоредни прави, тогава тя е перпендикулярна и на другата.

8. Решаване на система от две уравнения с двеТакава двойка числа се нарича неизвестна х И при , които, когато бъдат заменени в тази система, превръщат всяко от нейните уравнения в правилно числово равенство.

9.Решете системата от уравнения- означава да се намерят всички негови решения или да се установи, че няма такива.

1. Методи за решаване на система от уравнения:

а) заместване

б) добавяне;

в) графика.

10. Сборът от ъглите на триъгълник е 180°.

11.Външен ъгълна триъгълник е ъгъл, съседен на някакъв ъгъл на този триъгълник.

Външен ъгъл на триъгълник е равен на сбора от два ъгъла на триъгълника, които не са съседни на него.

12. Във всеки триъгълник или всички ъгли са остри, или два ъгъла са остри, а третият е тъп или прав.

13 Ако и трите ъгъла на триъгълник са остри, тогава триъгълникът се нарича остроъгълен.

14.Ако един от ъглите на триъгълник е тъп, тогава триъгълникът се нарича тъпоъгълен.

15. Ако един от ъглите на триъгълник е прав, тогава триъгълникът се нарича правоъгълен.

16. Страната на правоъгълен триъгълник, лежаща срещу правия ъгъл, се нарича хипотенуза, а другите две страни са крака.

17. В триъгълник: 1) по-големият ъгъл лежи срещу по-голямата страна; 2) назад, по-голямата страна лежи срещу по-големия ъгъл.

18. В правоъгълен триъгълник хипотенузата е по-дълга от катета.

19. Ако два ъгъла на триъгълник са равни, то триъгълникът е равнобедрен (признак на равнобедрен триъгълник).

20. Всяка страна на триъгълник е по-малка от сумата на другите две страни.

21 Сборът от два остри ъгъла на правоъгълен триъгълник е 90°.

22. Катет на правоъгълен триъгълник, лежащ срещу ъгъл 30°, е равен на половината от хипотенузата.

Признаци за равенство на правоъгълни триъгълници: 1) от двете страни; 2) по хипотенузата и острия ъгъл; 3) по хипотенузата и крака; 4) по крака и остър ъгъл

Дължината на перпендикуляр, прекаран от точка към права, се нарича разстояние от тази точка до правата.

ГЛАВА III.
ПАРАЛЕЛНА ПРАВА

§ 38. ЗАВИСИМОСТИ МЕЖДУ ЪГЛИ,
ОБРАЗУВА СЕ ОТ ДВЕ УСПОРЕДНИ ЛИНИИ И ЕДНА ВТОРИЧНА.

Знаем, че две прави са успоредни, ако при пресичането им на трета права съответните ъгли са равни, или вътрешните или външните ъгли, разположени на кръст, са равни, или сборът от вътрешните, или сборът от външните едностранни ъгли е равен на 2 д. Нека докажем, че и обратните теореми са верни, а именно:

Ако две успоредни прави се пресичат от трета, тогава:

1) съответните ъгли са равни;
2) вътрешните напречни ъгли са равни;
3) външните напречни ъгли са равни;
4) сумата от вътрешните едностранни ъгли е равна на 2 д ;
5) сумата от външните едностранни ъгли е равна на 2 д .

Нека докажем например, че ако две успоредни прави са пресечени от трета права, тогава съответните ъгли са равни.

Нека правите AB и CD са успоредни и MN е техният секанс (фиг. 202) Нека докажем, че съответните ъгли 1 и 2 са равни един на друг.

Да приемем, че / 1 и / 2 не са равни. Тогава в точка O можем да конструираме / МОК, съответни и равни / 2 (чертеж 203).

Но ако / MOQ = / 2, тогава правата OK ще бъде успоредна на CD (§ 35).

Открихме, че през точка O са прекарани две прави AB и OK, успоредни на права CD. Но това не може да бъде (§ 37).

Стигнахме до противоречие, защото го предположихме / 1 и / 2 не са равни. Следователно нашето предположение е неправилно и / 1 трябва да е равно / 2, т.е. съответните ъгли са равни.

Нека установим връзките между останалите ъгли. Нека правите AB и CD са успоредни, а MN е техният секанс (фиг. 204).

Току-що доказахме, че в този случай съответните ъгли са равни. Да приемем, че всеки два от тях имат по 119°. Нека изчислим размера на всеки от останалите шест ъгъла. Въз основа на свойствата на съседните и вертикалните ъгли откриваме, че четири от осемте ъгъла ще имат по 119°, а останалите ще имат по 61°.

Оказа се, че вътрешните и външните напречни ъгли са равни по двойки, а сумата от вътрешните или външните едностранни ъгли е равна на 180° (или 2 д).

Същото ще се случи за всяка друга стойност на равни съответни ъгли.

Следствие 1. Ако всяка от двете прави AB и CD е успоредна на една и съща трета права MN, тогава първите две прави са успоредни една на друга (чертеж 205).

Всъщност, като начертаем секанса EF (фиг. 206), получаваме:
а) / 1 = / 3, тъй като AB || MN; б) / 2 = / 3, тъй като CO || MN.

означава, / 1 = / 2, а това са ъглите, съответстващи на правите AB и CD и секущата EF, следователно правите AB и CD са успоредни.

Следствие 2. Ако правата е перпендикулярна на една от двете успоредни прави, тогава тя е перпендикулярна и на другата (чертеж 207).

Наистина, ако EF _|_ AB, тогава / 1 = д; ако AB || CD, тогава / 1 = / 2.

следователно / 2 = дт.е. EF _|_ CD .

Страница 1 от 2

Въпрос 1.Докажете, че две прави, успоредни на трета, са успоредни.
Отговор. Теорема 4.1. Две прави, успоредни на трета, са успоредни.
Доказателство.Нека правите a и b са успоредни на правата c. Да приемем, че a и b не са успоредни (фиг. 69). Тогава те не се пресичат в някаква точка C. Това означава, че две прави минават през точка C успоредно на права c. Но това е невъзможно, тъй като през точка, която не лежи на дадена права, можете да начертаете най-много една права, успоредна на дадената. Теоремата е доказана.

Въпрос 2.Обяснете кои ъгли се наричат ​​едностранни вътрешни ъгли. Какви ъгли се наричат ​​вътрешни напречни?
Отговор.Двойките ъгли, които се образуват, когато правите AB и CD се пресичат със секущата AC, имат специални имена.
Ако точките B и D лежат в една и съща полуравнина спрямо права линия AC, тогава ъглите BAC и DCA се наричат ​​едностранни вътрешни ъгли (фиг. 71, а).
Ако точките B и D лежат в различни полуравнини спрямо права линия AC, тогава ъглите BAC и DCA се наричат ​​вътрешни напречни ъгли (фиг. 71, b).

Ориз. 71

Въпрос 3.Докажете, че ако вътрешните ъгли на едната двойка са равни, то вътрешните ъгли на другата двойка също са равни и сборът от вътрешните ъгли на всяка двойка е 180°.
Отговор.Секущата AC образува с правите AB и CD две двойки вътрешни едностранни ъгли и две двойки вътрешни напречни ъгли. Вътрешните напречни ъгли на една двойка, например ъгъл 1 и ъгъл 2, са съседни на вътрешните напречни ъгли на друга двойка: ъгъл 3 и ъгъл 4 (фиг. 72).

Ориз. 72

Следователно, ако вътрешните ъгли на едната двойка са равни, тогава вътрешните ъгли на другата двойка също са равни.
Двойка вътрешни кръстосани ъгли, например ъгъл 1 и ъгъл 2, и двойка вътрешни едностранни ъгли, например ъгъл 2 и ъгъл 3, имат един общ ъгъл - ъгъл 2, а други два ъгъла са съседни : ъгъл 1 и ъгъл 3.
Следователно, ако вътрешните напречни ъгли са равни, тогава сумата от вътрешните ъгли е 180°. И обратното: ако сборът на вътрешните пресичащи се ъгли е равен на 180°, то пресичащите се вътрешни ъгли са равни. Q.E.D.

Въпрос 4.Докажете тест за успоредни прави.
Отговор. Теорема 4.2 (тест за успоредни прави).Ако вътрешните напречни ъгли са равни или сумата от вътрешните едностранни ъгли е равна на 180°, тогава правите са успоредни.
Доказателство.Нека правите a и b образуват равни вътрешни напречни ъгли със секанса AB (фиг. 73, а). Да кажем, че правите a и b не са успоредни, което означава, че се пресичат в някаква точка C (фиг. 73, b).

Ориз. 73

Секущата AB разделя равнината на две полуравнини. В една от тях лежи точка C. Да построим триъгълник BAC 1, равен на триъгълник ABC, с връх C 1 в друга полуравнина. По условие вътрешните напречни ъгли на успоредника a, b и секущата AB са равни. Тъй като съответните ъгли на триъгълници ABC и BAC 1 с върхове A и B са равни, те съвпадат с вътрешните ъгли, разположени на кръст. Това означава, че правата AC 1 съвпада с правата a, а правата BC 1 съвпада с правата b. Оказва се, че две различни прави a и b минават през точки C и C 1. А това е невъзможно. Това означава, че правите a и b са успоредни.
Ако правите a и b и напречната AB имат сбор от вътрешните едностранни ъгли, равна на 180°, то, както знаем, вътрешните ъгли, лежащи на кръст, са равни. Това означава, че според доказаното по-горе, правите a и b са успоредни. Теоремата е доказана.

Въпрос 5.Обяснете кои ъгли се наричат ​​съответни ъгли. Докажете, че ако вътрешните напречни ъгли са равни, то съответните ъгли също са равни и обратно.

Отговор.Ако за двойка вътрешни напречни ъгли един ъгъл се замени с вертикален, тогава получаваме двойка ъгли, които се наричат ​​съответните ъгли на тези прави с напречна. Което трябваше да се обясни.
От равенството на вътрешните кръстосани ъгли следва равенството на съответните ъгли и обратно. Да кажем, че имаме две успоредни прави (тъй като по условие вътрешните ъгли, разположени един срещу друг, са равни) и напречна, които образуват ъгли 1, 2, 3. Ъгли 1 и 2 са равни като вътрешни ъгли, разположени един срещу друг. А ъгли 2 и 3 са равни като вертикални. Получаваме: \(\ъгъл\)1 = \(\ъгъл\)2 и \(\ъгъл\)2 = \(\ъгъл\)3. От свойството за транзитивност на знака за равенство следва, че \(\ъгъл\)1 = \(\ъгъл\)3. Обратното твърдение може да се докаже по подобен начин.
От това получаваме знака, че правите линии са успоредни на съответните ъгли. А именно: правите са успоредни, ако съответните ъгли са равни. Q.E.D.

Въпрос 6.Докажете, че през точка, която не лежи на дадена права, можете да прекарате права, успоредна на нея. Колко прави, успоредни на дадена права, могат да бъдат начертани през точка, която не лежи на тази права?

Отговор.Проблем (8). Дадени са права AB и точка C, която не лежи на тази права. Докажете, че през точка C можете да прекарате права, успоредна на правата AB.
Решение. Правата AC разделя равнината на две полуравнини (фиг. 75). Точка B лежи в една от тях. Нека добавим ъгъл ACD от полуправата CA към друга полуравнина, равна на ъгъл CAB. Тогава правите AB и CD ще бъдат успоредни. Всъщност за тези прави и секущата AC вътрешните ъгли BAC и DCA лежат на кръст. И тъй като са равни, правите AB и CD са успоредни. Q.E.D.
Сравнявайки постановката на задача 8 и аксиома IX (основното свойство на успоредните прави), стигаме до важно заключение: през точка, която не лежи на дадена права, е възможно да се начертае права, успоредна на нея, и то само една.

Въпрос 7.Докажете, че ако две прави са пресечени от трета права, то пресичащите се вътрешни ъгли са равни, а сборът от вътрешните едностранни ъгли е 180°.

Отговор. Теорема 4.3(обратното на теорема 4.2). Ако две успоредни прави се пресичат с трета права, тогава пресичащите се вътрешни ъгли са равни, а сборът от вътрешните едностранни ъгли е 180°.
Доказателство.Нека a и b са успоредни прави и c е права, пресичаща ги в точки A и B. Нека начертаем права a 1 през точка A, така че вътрешните напречни ъгли, образувани от напречната c с правите a 1 и b, да са равни (фиг. 76).
Според принципа на успоредността на правите, правите a 1 и b са успоредни. И тъй като през точка A минава само една права, успоредна на права b, то права a съвпада с права a 1.
Това означава, че вътрешни напречни ъгли, образувани от напречна с
успоредните прави a и b са равни. Теоремата е доказана.

Въпрос 8.Докажете, че две прави, перпендикулярни на трета, са успоредни. Ако правата е перпендикулярна на една от двете успоредни прави, тогава тя е перпендикулярна и на другата.
Отговор.От теорема 4.2 следва, че две прави, перпендикулярни на трета, са успоредни.
Да предположим, че всеки две прави са перпендикулярни на трета права. Това означава, че тези прави се пресичат с третата права под ъгъл, равен на 90°.
От свойството на ъглите, образувани при пресичане на успоредни прави с напречна, следва, че ако правата е перпендикулярна на една от успоредните прави, то тя е перпендикулярна и на другата.

Въпрос 9.Докажете, че сборът от ъглите на триъгълник е 180°.

Отговор. Теорема 4.4.Сборът от ъглите на триъгълник е 180°.
Доказателство.Нека ABC е дадения триъгълник. Нека начертаем права през върха B, успоредна на правата AC. Нека отбележим върху нея точка D, така че точките A и D да лежат от двете страни на правата BC (фиг. 78).
Ъглите DBC и ACB са равни като вътрешни напречни, образувани от напречната BC с успоредни прави AC и BD. Следователно сборът от ъглите на триъгълник при върховете B и C е равен на ъгъл ABD.
А сборът от трите ъгъла на триъгълника е равен на сбора от ъглите ABD и BAC. Тъй като това са едностранни вътрешни ъгли за успоредни AC и BD и секуща AB, сборът им е 180°. Теоремата е доказана.

Въпрос 10.Докажете, че всеки триъгълник има поне два остри ъгъла.
Отговор.Наистина, нека приемем, че триъгълникът има само един остър ъгъл или изобщо няма остри ъгли. Тогава този триъгълник има два ъгъла, всеки от които е най-малко 90°. Сумата от тези два ъгъла е не по-малка от 180°. Но това е невъзможно, тъй като сборът от всички ъгли на триъгълника е 180°. Q.E.D.

Поддържането на вашата поверителност е важно за нас. Поради тази причина разработихме Политика за поверителност, която описва как използваме и съхраняваме вашата информация. Моля, прегледайте нашите практики за поверителност и ни уведомете, ако имате въпроси.

Събиране и използване на лична информация

Личната информация се отнася до данни, които могат да бъдат използвани за идентифициране или контакт с конкретно лице.

Може да бъдете помолени да предоставите вашата лична информация по всяко време, когато се свържете с нас.

По-долу са дадени някои примери за видовете лична информация, която можем да събираме и как можем да използваме тази информация.

Каква лична информация събираме:

• Когато подадете заявление на сайта, ние може да съберем различна информация, включително вашето име, телефонен номер, имейл адрес и др.

Как използваме вашата лична информация:

• Личната информация, която събираме, ни позволява да се свържем с вас с уникални оферти, промоции и други събития и предстоящи събития.
• От време на време може да използваме вашата лична информация, за да изпращаме важни известия и съобщения.
• Може също да използваме лична информация за вътрешни цели, като например извършване на одити, анализ на данни и различни изследвания, за да подобрим услугите, които предоставяме, и да ви предоставим препоръки относно нашите услуги.
• Ако участвате в теглене на награди, конкурс или подобна промоция, ние може да използваме предоставената от вас информация за администриране на такива програми.

Разкриване на информация на трети лица

Ние не разкриваме информацията, получена от вас, на трети страни.

Изключения:

• Ако е необходимо - в съответствие със закона, съдебна процедура, в съдебно производство и/или въз основа на публични искания или искания от държавни органи в Руската федерация - да разкриете вашата лична информация. Може също така да разкрием информация за вас, ако преценим, че такова разкриване е необходимо или подходящо за целите на сигурността, правоприлагането или други обществено значими цели.
• В случай на реорганизация, сливане или продажба, можем да прехвърлим личната информация, която събираме, на съответната трета страна приемник.

Защита на личната информация

Ние вземаме предпазни мерки – включително административни, технически и физически – за да защитим вашата лична информация от загуба, кражба и злоупотреба, както и неоторизиран достъп, разкриване, промяна и унищожаване.

Зачитане на вашата поверителност на фирмено ниво

За да гарантираме, че вашата лична информация е защитена, ние съобщаваме стандартите за поверителност и сигурност на нашите служители и стриктно прилагаме практиките за поверителност.

Признаци за успоредност на две прави

Теорема 1. Ако, когато две прави се пресичат със секанс:

кръстосаните ъгли са равни, или

съответните ъгли са равни, или

сборът от едностранните ъгли е 180°, тогава

линиите са успоредни(Фиг. 1).

Доказателство. Ограничаваме се до доказване на случай 1.

Нека пресичащите се прави a и b са напречни и ъглите AB са равни. Например ∠ 4 = ∠ 6. Нека докажем, че a || b.

Да предположим, че правите a и b не са успоредни. Тогава те се пресичат в някаква точка M и следователно един от ъглите 4 или 6 ще бъде външният ъгъл на триъгълник ABM. За категоричност нека ∠ 4 е външният ъгъл на триъгълника ABM, а ∠ 6 вътрешният. От теоремата за външния ъгъл на триъгълник следва, че ∠ 4 е по-голямо от ∠ 6, а това противоречи на условието, което означава, че правите a и 6 не могат да се пресичат, следователно са успоредни.

Следствие 1. Две различни прави в равнина, перпендикулярна на една и съща права, са успоредни(фиг. 2).

Коментирайте. Начинът, по който току-що доказахме случай 1 от теорема 1, се нарича метод на доказателство чрез противоречие или свеждане до абсурд. Този метод получи първото си име, защото в началото на аргумента се прави предположение, което е в противоречие (противоположно) на това, което трябва да се докаже. Нарича се довеждане до абсурд поради факта, че разсъждавайки на базата на направеното предположение, стигаме до абсурдно заключение (до абсурда). Получаването на такова заключение ни принуждава да отхвърлим предположението, направено в началото, и да приемем това, което трябваше да бъде доказано.

Задача 1.Да се ​​построи права, минаваща през дадена точка M и успоредна на дадена права a, която не минава през точка M.

Решение. Начертаваме права p през точка M, перпендикулярна на правата a (фиг. 3).

След това начертаваме права b през точка M, перпендикулярна на правата p. Правата b е успоредна на правата a съгласно следствието от теорема 1.

От разглеждания проблем следва важен извод:
през точка, която не лежи на дадена права, винаги е възможно да се начертае права, успоредна на дадената.

Основното свойство на успоредните прави е следното.

Аксиома за успоредни прави. През дадена точка, която не лежи на дадена права, минава само една права, успоредна на дадената.

Нека разгледаме някои свойства на успоредните прави, които следват от тази аксиома.

1) Ако една права пресича една от две успоредни прави, то тя пресича и другата (фиг. 4).

2) Ако две различни прави са успоредни на трета права, то те са успоредни (фиг. 5).

Следващата теорема също е вярна.

Теорема 2. Ако две успоредни прави се пресичат от напречна, тогава:

напречните ъгли са равни;

съответните ъгли са равни;

сборът от едностранните ъгли е 180°.

Следствие 2. Ако правата е перпендикулярна на една от двете успоредни прави, тогава тя е перпендикулярна и на другата(виж фиг. 2).

Коментирайте. Теорема 2 се нарича обратна на теорема 1. Заключението на теорема 1 е условието на теорема 2. А условието на теорема 1 е заключението на теорема 2. Не всяка теорема има обратна, т.е. ако дадена теорема е вярно, тогава обратната теорема може да е невярна.

Нека обясним това с помощта на примера на теоремата за вертикалните ъгли. Тази теорема може да се формулира по следния начин: ако два ъгъла са вертикални, те са равни. Обратната теорема би била: ако два ъгъла са равни, тогава те са вертикални. И това, разбира се, не е вярно. Не е задължително два равни ъгъла да са вертикални.

Пример 1.Две успоредни прави се пресичат от трета. Известно е, че разликата между два вътрешни едностранни ъгъла е 30°. Намерете тези ъгли.

Решение. Нека фигура 6 отговаря на условието.