المعادلة كوس x ملاحظات الدرس. جيب التمام القوس
الجبر وبدايات التحليل
درس
- "هجوم دماغي"
موضوع.حل المعادلات المثلثية البسيطة.
معادلات النموذج كوس س = أ .
الصف 10
صالة الألعاب الرياضية رقم 3
مدرس
موموت
ليودميلا
الكسندروفنا
بيرديانسك
نتائج متوقعة:بعد هذا الدرس يا أطفال:
اكتساب فهم لأبسط المعادلات المثلثية؛
تعلم كيفية حل المعادلات من النموذج: خطيئة س = أ
سيبدأون في فهم أن هذا الموضوع هو امتداد لمعرفتهم في مجال علم المثلثات؛
سوف يتعلمون كيفية تطبيق المفاهيم الرياضية المعروفة لهم: جذور المعادلة، نطاق القيم المسموح بها للمتغير، تبسيط التعبيرات، إلخ. عند حل المعادلات المثلثية.
معدات الدرس:
درس قصير عن "الموافقة"؛
الشريحة مع الإملاء الرياضي.
خوارزمية لحل المعادلة المثلثية.
شرائح للعمل الجماعي.
خلال الفصول الدراسية.
مرحلة التوجيه.
أبنائي نواصل دراسة موضوع "المعادلات المثلثية"، واليوم سنتعرف على نوع آخر من المعادلات المثلثية وهي المعادلات ذات الشكل: com.cosx = أ .
أرى أن الهدف الرئيسي لدرسنا هو كما يلي:
الاستمرار في تجميع خوارزمية لحل أبسط المعادلات المثلثية؛
تطوير القدرة على اختزال أي معادلة مثلثية إلى أبسط أشكالها؛
لقد تركت فراغا على الشريحة، هل ترغب في ملئه؟..
وهذا بالضبط ما سنفعله معك في درس اليوم.
أثناء دراسة هذا الموضوع سنواصل العمل في مجموعات، فلا أحد لديه أي رغبة في تغيير تكوين المجموعة.
حسنًا، لقد اكتملت الفرق، فلنبدأ العمل.
أقترح أن نأخذ كلمات المعلم العظيم أ.س.ماكارينكو كشعار لدرسنا:
"إذا لم تتمكن من فعل شيء بنفسك،
لا تتدخل مع من يفعل هذا."
مرحلة تحديد هدف الدرس.
سيسمح لك العمل الذي سنقوم به اليوم بالتنقل على نطاق أوسع في "متاهات المعادلات المثلثية" وتطبيق المواد النظرية المدروسة بدقة في الممارسة العملية.
مرحلة التصميم.
أود حقًا ذلك في درس اليوم أنت وأنا:
لقد استذكرنا وعززنا معرفتنا بالمعادلة المثلثية.
واصلنا إنشاء موافق حول هذا الموضوع.
لقد تمكنا من حل مجموعة أخرى من المعادلات المثلثية.
أظهروا معرفتهم من خلال تحويل شروط المعادلات.
أظهرت الفردية الإبداعية.
تمكنا من تطبيق نظام المعرفة عند إجراء PSR.
تلقيت وأثبتت وقيمت معارفهم ومهاراتهم.
الآن بعد أن عرفت ما سنفعله في الفصل، فكر وقل:
هل ترغب في المشاركة في درسنا؟
لماذا تحتاج هذه؟
ماذا تتوقع من درس اليوم؟
أي جزء من الدرس يخيفك أو يقلقك؟
ما هي المرحلة الأكثر إثارة للاهتمام؟
مرحلة تنظيم تنفيذ خطة النشاط.
1. استخدام التقنية « شهر هجوم متعرج" عند التحقق من الواجبات المنزلية.
إجابات على الأسئلة التي نشأت أثناء أداء الواجب المنزلي.
إكمال المهمة: "الإملاء الرياضي" وفق برنامج "مولنية" (الذي يأخذ أكثر في 6 دقائق):
1. الخطيئة س = 0؛ 2. الخطيئة x = 1 3. الخطيئة x = -1
4. الخطيئة س =
5. الخطيئة س =
6. الخطيئة س =
7.
الخطيئة س = - 
8.
الخطيئة س = -
9. الخطيئة س = -
10. الخطيئة س =
11.
الخطيئة س = - 
12. الخطيئة س = 0.5
تلخيص نتائج العمل المستقل.
2. دراسة مواد جديدة.
2.1.العمل في أزواج مع "موافق" في موضوع "أبسط المعادلات المثلثية" باستخدام تقنية "الجميع يعلم الجميع".
2.2 التفسير العملي للمعرفة المكتسبة حول أبسط المعادلات المثلثية من الشكل:كوس س = أ :
2.3. تطبيق المعرفة المكتسبة على شكل لعبة "السباق من أجل القائد":
2cosx – 1 = 0 cos 2x – 1 = 0
/2 نقطة/
cos 2 x - sin 2 x = 0.5 2 sin 2 x = 1 /4 نقاط/
6cos 2 x + cosx – 1 = 0 cos 2 x + 3cosx = 0
4cos 2 x –3 =0 cos 2 2x = 1 + sin 2 2x / 6 نقطة البيض/
مرحلة المراقبة والتقييم.
انعكاس.
1.1. - أعتقد أننا حققنا هدفنا اليوم. كل ما تبقى هو معرفة إلى أي مدى أتقن كل واحد منكم نظام المعرفة حول موضوع "حل معادلة النموذج: كوس س = أ "وعلى استعداد للتعامل مع الواجبات المنزلية. أقدم لك الواجبات المنزلية التي تفضل رفاقك بإعدادها لك.
- واجبات منزلية متعددة المستويات.
المستوى 1: اجتياز الاختبارات التي يعدها الطالب القوي.
المستوى الثاني: حل المعادلات.
1.2. الطلاب يقرأون خريطة عاكسة على جهاز الكمبيوتر.
تقدير.
هل تعتقد أننا حققنا أهداف الدرس؟
هل تم الانتهاء من جميع نقاط الخطة؟
أنا سعيد جدًا بعملك، وأعجبني بشكل خاص الطريقة التي تعاملت بها ببراعة مع إعداد "الموافقة"، وقد سررت بإجاباتك الصحيحة والسريعة في "البرق"، وآمل أن تكون قد قمت بعمل ممتاز.
تقدير.
- لقد بلغت بالفعل عمرًا كافيًا ويمكنك تقييم عملك بموضوعية. أعط لنفسك تقييما في المربع الأول.
توزيع النقاط المكتسبة في الدرس بما يتناسب مع مشاركتك في المجموعة. وأشر إلى عددهم في المربع الثاني.
سوف أقوم بملء المربع الثالث عندما أتحقق من واجباتك المنزلية وأستمتع كثيرًا باتخاذ القرارات الصحيحة.
شكرا لك على الدرس!
أتمنى لك النجاح في الدرس القادم!
تم عقد الدرس في معمل الحاسوب. في هذا الدرس، عمل الطلاب مع الكمبيوتر بشكل فردي وفي مجموعات.
يتم عرض موضوع الدرس وأهدافه على الشاشة، ويمكن للأطفال الذهاب إلى الكمبيوتر المركزي وإجراء تغييرات على خطة الدرس.
أظهر حل المعادلات باستخدام برنامج "Lightning" قدرتهم على اختيار الإجابة المطلوبة بسرعة وتسجيل أكبر عدد ممكن من النقاط، والتي شكلت "رأس مال البداية" - 1-6 نقاط.
بعد النظر في الحلول الجاهزة لأبسط أنواع المعادلات كوس س = أ , أخبر الأطفال بعضهم البعض، وهم يشرحون لبعضهم البعض من الملاحظات الجاهزة، وقاموا في أزواج بتجميع خوارزمية الحل، وعرضها الزوج الأول على الشاشة. وبعد المناقشة العامة، تمت الموافقة على صيغته النهائية.
حصل الأطفال على النصف الثاني من صفهم من خلال استكمال العمل المستقل على ثلاثة مستويات (اختياري).
تم إدخال نتائج العملين المستقلين الأول والثاني إلى الحاسوب، أي أن التقييم تم من نتائج عملين.
قام الأطفال بنقلها إلى ورقة التقييم الخاصة بهم.
أدى استخدام الكمبيوتر في هذا الدرس إلى إدخال أشكال وأساليب جديدة ومتنوعة في العملية التعليمية، مما أثار اهتمامًا حقيقيًا لدى الأطفال وجعل من السهل تدريس مقرر علم المثلثات الذي لم يكن الموضوع الأسهل.
مطور المواد:
ماتفيفا ماريا فيكتوروفنا
مدرس رياضيات
المؤسسة التعليمية لميزانية الدولة "الاحتياطي الأولمبي"
الدرس المبرمج للصف العاشر حول الموضوع:
مفهوم قوس جيب التمام. معادلة النموذج ج نظام التشغيل س = أ.
كما هو الحال مع حل المعادلات العادية، فإن حل المعادلات المثلثية يعود إلى القدرة على حل أبسط المعادلات.
تعريف: تسمى المعادلة مثلثية إذا كان المجهول تحت إشارة الدوال المثلثية.
أبسط المعادلات المثلثية هي: معنظام التشغيلس = أ، سينكس = أ، تغكس = أ.
كل واحد منهم لديه صيغة خاصة به للحل. الشيء الوحيد الذي يجب أن يكون واضحا يتذكر- وهذا ما يحدث عند حلها عدد لا نهائي من الجذور.
لكن يمكنك أيضًا معرفة حلول محددة.
لكي تتعلم كيفية حل أبسط معادلة مثلثية، عليك أن تتعرف على مفهوم مثل قوس جيب التمام لعدد ما.
تجدر الإشارة إلى ذلك رقم، والتي يعتبر قوس جيب التمام، ينتمي إلى الفاصل الزمني [-1؛ 1].
تعريف: قوس جيب التمام ل [-1؛ 1] (المشار إليهاأركوس أ ) يسمى هذا الرقم α ، الذي جيب تمامه يساوي أ.إنهكوس ( أركوس أ ) = أ.
على سبيل المثال،أركوس (-1) = π؛لأنكوس ط = -1
أركوس = ، لأنكوس =
هكذا، قوس جيب التمام هو الدالة العكسية لجيب التمام.
اكتبه في دفتر ملاحظاتك النظري: التعريف والأمثلة.
في الواقع، أوجد القيمةأركوسيمكنك بسهولة استخدام الشخص المألوف بشكل مؤلم طاولةقيم الدوال المثلثية.
عندما تجدأركوس عليك أن تسأل نفسك السؤال، بأي قيمةكوس يساوي ؟ وانظر إلى الطاولة. الإجابة: "عند 45 درجة أو بالراديان ».
يجب أن نتذكر أنه عادة ما يتم كتابة قيمة قوس جيب التمام فقط في قياس راديان. لذلك، يجب أن تتذكر المراسلات بين قياسات الدرجة والراديان للزوايا.
إذا كان الرقم الذي تريد العثور على قوس جيب التمام منه سالبًا، للعثور عليه، عليك استخدام الصيغة:
أركوس (-أ) = π - أركوس أ.
على سبيل المثال،أركوس (
= π
=
.
أركوس (
= π
=
.
اكتب الصيغة والأمثلة في دفتر ملاحظاتك النظري.
حل المشكلات وفقًا للكتاب المدرسي ص. 168 رقم 568 – 570.
حل معادلة مثلثية من النموذجكوس x = a يأتي لاستخدام الصيغة:
س = ±
ويمكن توضيح هذه الصيغة في الشكل 68 ص 165 من الكتاب المدرسي. افتح كتابك المدرسي.
يوضح الرسم أن النقطة محددة على محور جيب التمام . يوضح الخط المستقيم المرسوم عموديًا عبر هذه النقطة أن جيب التمام للقيمأنا والسادس تتزامن الأرباع.
لكن كيف يمكننا الحصول على هذه الزوايا عندما ندير النقطة؟ نعم بالضبط فيأنا أرباع عند الزاوية "+" وعندالسادس أرباع على "-". هذا هو المكان الذي علامة "±". وهذا هو، معس وكوس تطابق.
اكتب في دفتر ملاحظاتك النظري: الصيغة والرسم من الكتاب المدرسي مع الشرح.
دعونا نحلل حل المعادلة المثلثية باستخدام مثال:معس س = س = ±
(انظر القيمة حسب الجدول)س =±
الجواب: س =±
اكتب في دفتر ملاحظاتك النظري: حل المعادلة مع الشرح. وبما أن هناك عدد لا نهائي من الجذور، فإن المهام تطلب منك أحيانا إيجاد قيم محددة للجذور، على سبيل المثال تلك التي تنتمي إلى المجال، أيأنا ربع أو فاصل.
هذه المهام شائعة جدًا في امتحان الدولة الموحدة. يمكن العثور عليها عن طريق استبدالنأرقام محددة (مظللة بالألوان لمساعدتك).
على سبيل المثال، فكر في حل معادلتنا x =±
1.
يترك
ن
=0
. ثم س =±
±
، وهذا هو س 1
=
+
هُم 2
=
.
من هذا يمكنك أن ترى أنه اتضح 45 درجة و - 45 درجة. ومن بين هذين الرقمين، ينتمي رقم واحد فقط إلى الفترة، أيأنا أرباع. رقم فقط+
.
2.
يترك
ن
=1
. ثم س =±
±
,
هذا هو العاشر 1
=
+
هُم 2
=
,
X 1
=
=
هُم 2
=
=
من هذا يمكن ملاحظة أن x 1 = 405° و x 2 = 315°. هذا يعني أن أياً من الأرقام لا ينتمي إليهاأناأرباع، أي الفاصل. ولذلك، لا يمكن كتابتها كإجابة.
اكتب في دفتر ملاحظاتك النظري: طريقة للعثور على جذور محددة (تنتمي إلى فترة محددة) لمعادلة مثلثية. على سبيل المثال 1 ، حل المعادلةمعس س = والعثور على الجذور التي تنتمي إلى الفاصل الزمني [ ]. أولاً،ما عليك فعله هو حل المعادلة باستخدام الصيغة ونسيان الفاصل الزمني لفترة من الوقت.معس س = س = ±
(انظر القيمة حسب الجدول)س =±
ثانية، عليك أن تقرر الربع الذي يجب أن تنتمي إليه الجذور. هذا هو النطاق من 90 درجة إلى 180 درجة. اذن هذا هوثانيا الربع الثاني. ثالث،تحتاج إلى استبدال قيم محددةن(مظللة بالألوان لمساعدتك). - دع ن=0.
على سبيل المثال 2 ، حل المعادلةمعس س = . معس س = س = ±
(انظر القيمة حسب الجدول، لكن لا توجد مثل هذه القيم في الجدول، لذا احسب القيمة غير ممكن).إجابة:س = ± اكتب في دفترك النظري: المثال 2 مع الشرح.إذا كان جيب التمام يساوي رقمًا سالبًا، فيجب عليك استخدام صيغة مختلفة عند حل المعادلة: س = ± ± حل المسائل حسب الكتاب المدرسي: ص. 169 رقم 571، 572. المعادلات ليست دائما بهذه البساطة، فهناك معادلات بدرجات متفاوتة من التعقيد.على سبيل المثال، 3 . حل المعادلة2coس 3x = . معس 3x = ( تحتاج إلى قسمة طرفي المعادلة على الرقم الذي يأتي قبل جيب التمام)3x = ± يمكن كتابة علامة القسمة على شكل شرطة مائلة s س = ,5 معس س = ,5 ليس من الممكن حل مثل هذه المعادلة، لأن قيمة جيب التمام تقع في النطاق [-1؛ 1].الجواب: لا توجد حلول.اكتب الأمثلة مع الشرح في دفتر ملاحظاتك النظري. حل المسائل حسب الكتاب المدرسي: ص. 169 رقم 573.
استمرارًا للموضوع السابق، الذي تناول أمثلة على حل الدوال المثلثية، يقدم درس الفيديو هذا للطلاب قوس جيب التمام وحل المعادلة cos t = a.
يعتبر مثال على حل المعادلة cos t =1/4. باستخدام دائرة الأرقام، نجد النقاط ذات الإحداثيات x = 1/4؛ على الرسم البياني نحدد هذه النقاط كـ M(t 1) وN(t 2).
يوضح الرسم البياني أن t 1 هو طول AM، وt 2 هو طول AN. وبطريقة أخرى، يمكننا القول أن t 1 = arccos 1/4؛ ر 2 = - قوس 1/4. حل المعادلة t = ± arccos ¼ + 2πk.
وبالتالي، فإن arccos 1/4 هو الرقم (طول AM) الذي يساوي جيب تمامه 1/4. ينتمي هذا الرقم إلى الفترة من 0 إلى π/2، أي. الربع الأول من الدائرة.
بعد ذلك، نفكر في حل المعادلة cos t = - 1/4. قياسًا على المثال السابق، t = ± arccos (-1/4 + 2πk. يمكننا القول أن arccos (-1/4 هو رقم (طول القوس AM)، وجيب تمامه هو - ¼ وهذا الرقم ينتمي إلى ربع الدائرة II، أي القطعة من π/2 إلى π.
بناءً على مثالين، يتم إعطاء تعريف arccosine: إذا كان المعامل a أقل من أو يساوي 1، فإن arccos a هو رقم من المقطع من 0 إلى π الذي يساوي جيب تمامه a. ثم التعبير cos t = a مع المعامل أقل من أو يساوي 1 يمكن أن يبدو مثل t = ± arccos a + 2πk. فيما يلي قيم t عند cos t = 0; كوس ر = 1؛ كوس ر = - 1.
يعطي المؤلف المثال 1. ابحث عن حل للتعبير arccos. دعونا نشير إلى أن قيمة arccos هذه تساوي روبالتالي فإن cos t يساوي هذه القيمة، حيث ينتمي t إلى المقطع من 0 إلى π. وباستخدام جدول القيم نجد أن cos t يتوافق مع القيمة t =π/6. لنجد قيمة جيب التمام المقابلة، حيث ينتمي π/6 إلى المقطع من 0 إلى π.
لنلق نظرة على المثال 2. احسب قوسًا من رقم سالب. لنفترض أن arcсos لهذا الرقم يساوي، وبالتالي، cos t يساوي هذا الرقم، حيث ينتمي t إلى المقطع من 0 إلى π. من جدول القيم سنرى القيمة التي تتوافق مع cos t، وهي t = 5π/6. أولئك. cos 5π/6 هو ناقص جذر ثلاثة مقسومًا على اثنين، حيث 5π/6 ينتمي إلى القطعة من 0 إلى π.
بعد ذلك، يأخذ المؤلف في الاعتبار النظرية: لأي ينتمي إلى القطعة من ناقص واحد إلى واحد، المساواة حقًا هي arccos a + arccos (-a) = π. في الدليل، من أجل التحديد، نفترض أن a > 0، ثم< 0. На окружности отметим arccos a, это длина АК, и arccos (- a), это длина TС. АК = ТС, т.к. они симметричны относительно вертикального диаметра окружности ТК. Следовательно, arccos a + arccos (- а) = АК + АТ = ТС + АТ =π. Из написанного равенства можно сделать вывод, что arccos (- а) = π- arccos a, где 0 ≤ а ≤ 1.
عندما يكون a > 0، فإن arccos a ينتمي إلى الربع الأول من الدائرة (الموضح في الشكل)، وعندما يكون a< 0, arccos a принадлежит II четверти.
دعونا ننظر إلى مثال آخر. حل التعبير حيث cos t يساوي رقمًا سالبًا. لنكتب ما يساوي t في هذه الحالة، ثم نجد قيمة قوس جيب التمام، وهي 3π/4. دعونا نستبدل القيمة الموجودة لـ arcсos بقيمة t ونحصل على t = ± 3π/4+ 2πk.
دعونا نحلل حل عدم المساواة في التكلفة. لحل هذه المشكلة، نحتاج إلى إيجاد نقاط على دائرة الأعداد التي تكون فيها x مساوية لقيمة جيب التمام. هذه نقاط ذات قيم π/4 و- π/4. كما هو واضح في الشكل، طول القوس MN هو π/4≥ t ≥π/4. هذا يعني أن إجابة المتراجحة ستكون - π/4 + 2πk≤ t ≥ π/4+ 2πk.
فك تشفير النص:
قوس جيب التمام. حل تكلفة المعادلة = أ
دعونا نفكر في حل المعادلة التكلفة = .
بالنظر إلى أن cos t هو الإحداثي المحوري للنقطة M(t) (em from te) من دائرة الأعداد، فإننا نجد نقاطًا ذات الإحداثي المحوري على دائرة الأعداد
في دائرة الأرقام، نحدد النقاط M(t 1)، N(t 2) - نقاط تقاطع الخط المستقيم x= مع هذه الدائرة.
t 1 هو طول القوس AM، t 2 هو طول القوس AN، t 2 = - t 1.
عندما واجه علماء الرياضيات هذا الموقف لأول مرة، قدموا الرمز الجديد arccos
arccos (قوس جيب التمام للربع).
ثم t 1 = arccos؛ ر 2 = - أركوس
ومن ثم يمكن كتابة جذور المعادلة التكلفة = في صيغتين:
t = arccos + 2πk، t = - arccos + 2πk أو t = arccos + 2πk.
ماذا يعني أركوس
هذا العدد
(طول القوس AM)، وجيب تمامها يساوي الربع وينتمي هذا الرقم إلى الربع الأول، أي القطعة.
الآن فكر في المعادلة
التكلفة = - . على غرار حل المعادلة السابقة، نكتب
ر = أركوس) + 2πك.
كيف نفهم أركوس (-)؟ هذا العدد
(طول القوس AM)، جيب تمامها يساوي ناقص ربع وهذا الرقم ينتمي إلى الربع الثاني، أي المقطع [؛ ].
دعونا نحدد أركوسين:
تعريف. دع | أ | 1 (المعامل a أقل من أو يساوي واحدًا). قوس جيب التمام a هو رقم من القطعة التي يساوي جيب تمامها a (الشكل 1)
مثال 1. حساب القوسين (جذر جيب التمام لثلاثة في اثنين)
حل. دع أركوس = ر. ثم التكلفة = و ر[; ](te ينتمي إلى الجزء من صفر إلى pi). دعونا نتذكر قيمة cos المقابلة لها
(اعرض جدول القيم) وهذا يعني أن t = (pi في ستة)، حيث أن cos = و . وهذا يعني أركوس = .
أركوس هو طول القوس، ولكن طول القوس الدائري هو ر في تعريف التكلفة
(تقليديًا، يمكننا القول أن قوس جيب التمام هو "قيمة الزاوية" التي انتقلت عندها النقطة من M من النقطة A، إذا كنت تتذكر أننا أدخلنا الرقم t كجزء من طول الدائرة، فإن نصف القطر يساوي إلى 1 (واحد)، ثم 2π - الدائرة بأكملها تساوي 360°، π - نصف الدائرة =180°، ==60°)
مثال 2. احسب arccos(- (قوس جيب التمام ناقص جذر ثلاثة ضرب اثنين).
حل. دع arccos(-) = t. ثم التكلفة = و ر[; ](te ينتمي إلى الجزء من صفر إلى pi). وهذا يعني أن t = (خمسة باي في ستة)، حيث أن cos = - و[; ]. إذن أركوس) = .
دعونا نثبت النظرية. لأي [؛ ](ومن المقطع من ناقص واحد إلى واحد) المساواة arccosа+ arccos(-а) = π(مجموع arccosine a وarcosine ناقص a يساوي pi).
دليل. من أجل التحديد، سنفترض أن 0، ثم 0. على دائرة الأعداد نضع علامة arcos a (هذا هو طول القوس AK) و
arccos(-a) (هذا هو طول القوس AT) (انظر الشكل 2)
من النظرية المثبتة يتبع: أركوس (-أ) = π - أركوس أ (أركوسين ناقص أ يساوي الفرق بين بي وأركوسين أ)، حيث 0 أ 1 (حيث أ أكبر من أو يساوي الصفر وأقل من أو يساوي واحداً).
عندما يكون a> 0، فإنه يعتبر أن arcos أينتمي إلى الربع الأول من دائرة الأعداد.
عندما< 0 считают, что arcosأينتمي إلى الربع الثاني من دائرة الأعداد.
مثال 3. حل المعادلة التكلفة = - .
حل. دعونا ننشئ صيغة للحلول: t = arccos(-)+ 2πk.
دعونا نحسب قيم أركوسين: arccos(-) = π - arccos = π - = .
(وفقًا للعلاقة arccos(-) = π - arccos arccos، ثم استبدال هذه القيمة في الصيغة، نحصل على تلك arccos(-) =) .
لنعوض بالقيمة التي تم العثور عليها في صيغة الحل t = arccos(-)+ 2πk ونحصل على قيمة t: t = + 2πk.
مثال 4. حل عدم المساواة في التكلفة.
حل. نحن نعلم أن التكلفة هي حدود النقطة M(t) على دائرة الأعداد. هذا يعني أنك بحاجة إلى إيجاد النقاط M(t) على دائرة الأعداد التي تحقق المتراجحة x.
الخط المستقيم x = يقطع دائرة الأعداد عند نقطتين M و N.
يتوافق عدم المساواة x مع نقاط القوس المفتوح MN. يتوافق مع النقطة M والنقطة N -
- (ناقص باي بمقدار أربعة).
وهذا يعني أن جوهر التدوين التحليلي للقوس MN هو عدم المساواة
T ، والسجل التحليلي للقوس MN نفسه له الشكل
الدروس 34-35. المعادلات المثلثية
09.07.2015 4523 0هدف: النظر في حل المعادلات المثلثية.
I. توصيل موضوع الدروس والغرض منها
ثانيا. تكرار وتوحيد المواد المغطاة
1. إجابات على أسئلة الواجبات المنزلية (تحليل المشكلات التي لم يتم حلها).
2. مراقبة استيعاب المادة (مسح كتابي).
الخيار 1
أركتج x.
2. رسم بياني للوظيفة:
3. احسب 
الخيار 2
1. حدد وأدرج الخصائص الرئيسية للدالة y = arcctg x.
2. رسم بياني للوظيفة:
3. احسب 
ثالثا. تعلم مواد جديدة
دعونا نفكر في حل بعض أنواع المعادلات المثلثية. للقيام بذلك، من الضروري، باستخدام التحويلات، اختزال هذه المعادلة إلى واحدة من أبسط المعادلات -الخطيئة x = أ، كوس x = أ، tg x = أ، ctg x = أ ، والتي يمكن كتابة الحل.
1. أبسط المعادلات المثلثية
دعونا نتذكر مرة أخرى حلول أبسط المعادلات المثلثية.
1. حلول المعادلاتالخطيئة x = a (حيث | a | ≥ 1) لها الشكل:
2. حلول المعادلاتكوس س = a (حيث |a| ≥ 1) لها النموذج:
3. حلول المعادلات tg x = a لها النموذج:
4. حلول المعادلات ctg x = a لها النموذج:
عند حل المعادلاتالخطيئة س = 0؛ ±1 و كوس س = 0؛ ±1 (حالات خاصة) من الملائم أكثر عدم استخدام الصيغ العامة، ولكن استخدام دائرة الأرقام، ثم نحصل على:
مثال 1
للمعادلة الخطيئة x = 1 سنظهر أفضلية استخدام دائرة الأرقام.
أولاً نكتب حلول المعادلةالخطيئة س = 1، باستخدام الصيغة العامةلقيم متعددةن وترد هذه الحلول في الجدول.
من بيانات الجدول يتضح أنه عند استخدام الصيغة
يتم تكرار كل حل مرتين. علاوة على ذلك، التعبير
أكثر تعقيدا مقارنة بالصيغةوالتي يتم الحصول عليها من خلال النظر في دائرة الأرقام.
مثال 2
دعونا نجد حلولاً للمعادلة
تابعة للقطاع.
دعونا نحل هذه المعادلة باستخدام دائرة الأعداد. نحن نحصل:
دعونا نختار تلك الحلول التي تنتمي إلى هذا الجزء. بالشرط نحصل على عدم المساواة
دعونا نحل هذا عدم المساواة:
تقع ثلاث قيم صحيحة في هذا النطاقن: ن = 0، 1، 2. لهذه القيمن دعونا نجد الحلول المقابلة:
مثال 3
دعونا نحل المعادلة 
وباستخدام الصيغة العامة نحصل على:
ثم
2. طريقتان رئيسيتان لحل المعادلات المثلثية
لحل المعادلات الأكثر تعقيدًا، استخدم طريقة إدخال متغير جديد وطريقة التحليل. دعونا نفكر أولاً في طريقة إدخال متغير جديد.
مثال 4
دعونا نحل المعادلة:
أ) دعونا نقدم متغيرا جديداض = كوس س 
جذورها هي z 1 = 1 و z 2 = 2/3. دعنا نعود إلى المجهول القديم ونحصل على أبسط المعادلاتكوس س = 1 و كوس س = 2/3. حلول المعادلة الأولىس = 2π ن ، حلول المعادلة الثانية
ب) استخدام الصيغة
في المعادلة دعنا ننتقل إلى الوظيفة com.sinx. نحصل على: أو بعد ذلك نمضي بالمثل إلى النقطة أ. دعونا نقدم متغيرا جديداض = الخطيئة س ونحصل على معادلة تربيعية
جذورها هي z 1 = 2 و z 2 = 1/3. دعنا نعود إلى المجهول القديم ونحصل على أبسط المعادلاتخطيئة x = 2 (ليس له حلول) وخطيئة س = 1/3 (حلها
).
الآن دعونا نناقش الطريقة الثانية - طريقة التحليل. عند تطبيق المعادلةو(س ) = 0 مكتوب في النموذج
، ثم إما f 1 (x) = 0، أو f 2 (x) = 0. وبذلك تقتصر المشكلة على حل مجموعة من المعادلات
مثال 5
دعونا نحل المعادلة:
أ) لقد تم بالفعل تحليل الجانب الأيسر من المعادلة. تكمن المشكلة في حل مجموعة من المعادلات tg x - 1 = 0 (أو tg x = 1) وcos x + 1/2 = 0 (أو cos x = -1/2). حلول المعادلة الأولى
حلول المعادلة الثانية
ب) لنخرج cos 3 x خارج الأقواس نحصل على:
والآن علينا حل مجموعة من المعادلاتكوس 3 س = 0 و 
(أو ). وبحل المعادلة الأولى نجد:و وبحل المعادلة الثانية نحصل على:
دعونا نوضح الطريقة المعنية. من مكافئ.
ويترتب على ذلك إما f 1 (x ) = 0 (في هذه الحالة التعبيرو 2 (x) منطقي)، أوو 2 (س) = 0 (في هذه الحالة التعبير f 1 (x) منطقي).
مثال 6
دعونا نحل المعادلة cot x (cos + 1) = 0.
من المعادلة cot x = 0 نجد: 
من المعادلة cos x + 1 = 0 (أو cos x = -1) نحصل على: x = π + 2π n . ولكن بالنسبة لقيم x هذه، فإن التعبيرسي تي جي اكس لا معنى له. ولذلك فإن حلول هذه المعادلة x = π/2 + nن.
3. المعادلات المثلثية المتجانسة
الآن دعونا نناقش نوع المعادلات الذي نواجهه بشكل متكرر - المعادلات المتجانسة.
تعريف. معادلة النموذج(حيث أ ≠ 0، ب ≠ 0) تسمى معادلة مثلثية متجانسة من الدرجة الأولى. معادلة النموذج(حيث ≠ 0) تسمى معادلة مثلثية متجانسة من الدرجة الثانية.
دعونا أولا نفكر في حل المعادلات المثلثية المتجانسة من الدرجة الأولىدعونا نتأكد من أن كوس س ≠ 0. لنفترض ذلككوس س = 0، وعوض بهذه القيمة في هذه المعادلة. نحن نحصل:خطيئة س = 0. بما أن ≠ 0 إذنالخطيئة س = 0. ومن الواضح أن المساواةكوس س = 0 و الخطيئة س لا يمكن تنفيذ = 0 في وقت واحد، لأن المساواةخطيئة 2 س + جتا 2 س = 1 لم يتم تنفيذه.
منذ جتا س ≠ 0 إذنكوس س . نحن نحصل: 
أو 
من أين و 
مثال 7
دعونا نحل المعادلة 
دعونا نقسم جميع شروط المعادلة علىونحصل على: 
سوف نجد و 
مثال 8
دعونا نحل المعادلة 
لنأخذ في الاعتبار تكافؤ دالة جيب التمام وصيغة التخفيض. نحن نحصل:
أو 
دعونا نقسم طرفي المعادلة علىكوس 3 س . لدينا: 2 tg 3 x = -1، حيث tg 3 x = -1/2،
دعونا الآن نفكر في حل معادلة مثلثية متجانسة من الدرجة الثانيةدعونا نتأكد من أن كوس س ≠ 0. عوّض القيمةكوس x = 0 في هذه المعادلة ونحصل على:خطيئة 2 س = 0. بما أن ≠ 0، لدينا:خطيئة س = 0. ولكن المساواةكوس س = 0 و الخطيئة لا يمكن تنفيذ x = 0 في وقت واحد.
منذ كوس س ≠ 0، ثم قسمة جميع شروط المعادلة على cos 2 x ونحصل على: أو 
دعونا نقدم متغيرا جديداض = تان س ونصل إلى المعادلة التربيعيةأز 2 + بي زد + ج = 0. حل هذه المعادلة. ثم نعود إلى المتغير القديم ونحصل على أبسط المعادلات المثلثية ونجد حلولها.
مثال 9
دعونا نحل المعادلة
دعونا نقسم جميع شروط المعادلة على cos 2 x ونحصل على: tg 2 x – tg x - 2 = 0. لندخل متغيرًا جديدًاض = تان س ونحصل على معادلة تربيعيةض 2 - ض - 2 = 0، جذورهاض 1 = -1 و ض 2 = 2. دعنا نعود إلى المتغير القديم. لدينا أبسط المعادلات المثلثية tg س = -1 (حلولها
) وtan x = 2 (حلولها 
).
مثال 10
دعونا نحل المعادلة
هذه المعادلة ليست متجانسة، حيث أن الطرف الأيمن يحتوي على الرقم 1، وليس الرقم 0. وإذا أخذنا في الاعتبار المساواةالخطيئة 2 س + كوس 2 x = 1، فيمكن اختزال المعادلة بسهولة إلى معادلة متجانسة. نحن نحصل:أو دعونا نقسم جميع شروط المعادلة علىكوس 2 س . لدينا: tg 2 x + 5 tg x + 4 = 0. لندخل متغيرًا جديدًاض = تان س ونحصل على معادلة تربيعيةض 2 + 5 ض + 4 = 0، جذورهاض 1 = -1 و ض 2 = -4. دعنا نعود إلى المتغير القديم. دعونا نحصل على أبسط المعادلات المثلثية tg x = -1 (حلولها) و tg س = -4 (حلولها
).
دعونا في معادلة مثلثية متجانسةمعامل أ = 0. فتبدو المعادلة كما يلي:في هذه الحالة، القسمة على cos 2 x غير ممكن، لأن cos قد يكون x صفراً. لذلك، من الضروري استخدام طريقة التحليل. نحن نحصللدينا أبسط معادلة مثلثيةكوس س = 0 ومعادلة مثلثية متجانسة من الدرجة الأولى
نحن نعرف بالفعل كيفية حل مثل هذه المعادلات.
مثال 11
دعونا نحل المعادلة
دعونا نحلل الجانب الأيسر من المعادلة:حاصل ضرب عاملين يساوي صفرًا. ولذلك، فإن أحد العوامل هو صفر. نحصل على أبسط معادلة مثلثية cos x = 0 (حلولها ) ومعادلة مثلثية متجانسة من الدرجة الأولى
أو (حلولها).
يتم استخدام طريقة التحليل أيضًا في الحالة التي يكون فيها المعامل c = 0. فتبدو المعادلة كما يلي:أو مرة أخرى نحصل على أبسط معادلة مثلثيةخطيئة x = 0 ومعادلة مثلثية متجانسة من الدرجة الأولىوالتي يتم حلها بشكل مشابه للمثال 11.
يتيح لنا النظر في الأمثلة 9-11 صياغة خوارزمية لحل المعادلة
1. إذا كان المعامل أ ليس صفراً، فسيتم قسمة جميع حدود المعادلة علىكوس 2 س . إدخال متغير جديدض = تان x واحصل على معادلة تربيعية. أوجد جذور هذه المعادلة وارجع إلى المجهول القديم. الحصول على أبسط المعادلات المثلثية وحلها.
2. إذا كان المعاملان a وc يساويان الصفر، فاستخدم طريقة التحليل. فيأ = 0 تم إخراجها من الأقواسكوس x، عندما يكون c = 0 يتم إخراجهمالخطيئة س . الحصول على أبسط معادلة مثلثية ومعادلة مثلثية متجانسة من الدرجة الأولى وحلهما.
رابعا. أسئلة التحكم
1. حلول أبسط المعادلات المثلثية.
2. طريقتان رئيسيتان لحل المعادلات المثلثية.
3. تعريف المعادلة المثلثية المتجانسة من الدرجة الأولى والثانية.
4. حل معادلة مثلثية متجانسة من الدرجة الأولى.
5. خوارزمية حل معادلة مثلثية متجانسة من الدرجة الثانية.
خامسا: مهمة الدرس
§ 18، رقم 3 (أ، ج)؛ 5 (أ، ب)؛ 6 (ب)؛ 8 (ز)؛ 10 (أ، ب)؛ 11 (ج)؛ 12(أ)؛ 13 (ج)؛ 16؛ 18؛ 20(أ)؛ 21 (أ، ب)؛ 23(أ)؛ 27 (أ، ب)؛ 30(أ)؛ 31؛ 33(أ)؛ 34(ب)؛ 35(أ).
السادس. الواجب المنزلي
§ 18، رقم 3 (ب، د)؛ 5 (ج، د)؛ 6 (ز)؛ 8 (ب)؛ 10 (ج، د)؛ 11 (أ)؛ 12 (ب)؛ 13 (ز)؛ 17؛ 19؛ 20 (ب)؛ 21 (ج، د)؛ 23(ب)؛ 27 (ج، د)؛ 30(ب)؛ 32؛ 33(ب)؛ 34(أ)؛ 35(ب).
سابعا. تلخيص الدروس
قوس جيب التمام لعدد أ . حل المعادلات كوس س = أ .
غرض:الجبر وبدايات التحليل
فصل: 10.
موضوع الدرس:قوس جيب التمام لعدد أ. حل المعادلات كوس س = أ .
نوع الدرس:درس في تعلم مواد جديدة وتعزيز المعرفة في البداية.
معدات: كمبيوتر، سبورة بيضاء تفاعلية، نشرات، بطاقات تعكس أنشطة التعلم (لكل طالب)، ملصق بدائرة الوحدة.
الأهداف:
التعليمية : تقديم مفهوم قوس جيب التمام لعدد ما؛ تنمية مهارة حساب قوس جيب الرقم أ; اشتقاق صيغة جذور أبسط المعادلات المثلثية: الصيغة كوس س = أ ; تعليم كيفية استخدام الصيغة عند حل المعادلات المثلثية البسيطة؛ دراسة حالات خاصة لحل المعادلات المثلثية باستخدام أيساوي 0، - 1، 1.
التنموية : تطوير القدرة على التعبير عن الأفكار والأحكام لفترة وجيزة ومنطقية ومتسقة؛ تطوير القدرة على مناقشة تصريحاتك؛ تطوير مهارات التصنيف والمقارنة والتحليل واستخلاص النتائج.
التعليمية : تعليم مهارات تخطيط الأنشطة والعمل بالوتيرة المثلى؛ تنمية القدرة على تقييم قدرات الفرد بشكل صحيح، ونتائج الأنشطة التعليمية، وتطوير مهارات الاتصال؛ زراعة العمل الجاد والتصميم.
خلال الفصول الدراسية.
1. اللحظة التنظيمية ، 2 دقيقة.
مدرس. مرحبا يا شباب. اليوم في الصف سوف ندرس. (شريحة 1)
أ) التعبير بإيجاز ومنطقي ومتسق عن الأفكار والأحكام؛
ب) إعطاء أسباب للبيانات؛
ج) المقارنة والتحليل واستخلاص النتائج؛
د) تقييم نتائج أنشطتهم التعليمية.
نتذكر أن كل طالب، كما هو الحال دائما، لديه الحق (اكتب على السبوره):
عبر عن رأيك وكن مسموعًا؛
التخطيط بشكل مستقل للدراسة الذاتية في المنزل؛
اعرف أكثر من المعلم ودافع عن فرضياتك.
2. تحديث المعرفة , 3-4 دقائق.
العد اللفظي.
يتم عرض المهام على شاشة تفاعلية. (الشريحة 2 )
1. حساب القيم:كوس
;
كوس
;
كوس
.
,,تنتمي إلى أي ربع؟ نقاط دائرة الوحدة ,,تنتمي إلى 1 الربع؟
جيب تمام الزاوية التي تعتبر كمية موجبة؟
إذا كانت الزاوية تنتمي إلى ربع واحد.
خاتمة. جيب تمام الزاوية الحادة هو كمية موجبة.
2. حساب القيم:كوس 
;
كوس 
;
كوس 
.
,,تنتمي إلى أي ربع؟ نقاط دائرة الوحدة ,,تنتمي إلى 2 أرباع.
جيب التمام لأي زاوية هي كمية سلبية؟
إذا كانت الزاوية تنتمي إلى الربع الثاني.
خاتمة. جيب تمام الزاوية المنفرجة سلبي.
3. جيب تمام الزاوية التي تساوي; 0; 
; 1; 
; –; –، لو 
?
3. التحقق من الواجبات المنزلية , 3-4 دقيقة.
يقوم 3 طلاب بإعداد حلول للمعادلات على السبورة مسبقًا. يعتمد الشرح على دائرة الوحدة.
1 طالب
كوس ر = ,
ر
= 
+ 2πك
، أينك
ز
.
إجابة:
ر
= + 2πك
,
أينك
ز
.
2 طالب
كوس ر = 1,5,
ليس لديه حل لأن – 1 ≥ а ≥1.
إجابة: لا توجد حلول .
كوس ر = 1,
ر = 2
π
ك
، أينك
ز
.
إجابة
:
ر
= 2πك
، أينك
ز
.
3 طالب
كوس ر = 0,
ر
= 
+ π
ك
، أينك
ز
.
إجابة:
ر
= + π
ك
,
ك
ز
.
كوس ر = – 1,
ر
= π + 2πك
، أينك
ز
.
إجابة:
ر
= π + 2πك
، أينك
ز
.
4. تعلم مواد جديدة , 13-15 دقيقة.
كوس ر = .على السبورة، يكتب على اللوحة الرئيسية بجانب المثال.كوس ر = ، يستمع جميع الطلاب الآخرين. يتم كتابة المثال ودائرة الوحدة مقدما.
من خلال قراءة خوارزمية حل أبسط معادلة مثلثية، يحل الطالب المعادلة باستخدام دائرة الوحدة.
ر = ر 1 +2πك ,
ر
=
ر
2
+2πك
، أينك ز
.
لأنر
1=
–
ر
2,
الذي - التير
= ±
ر
1
+2πك
، أينك ز
.
هل هذا الدخول إجابة حلول المعادلة؟
هذا الإدخال ليس هو الحل لحل المعادلة، حيث أن القيم غير محددة ر 1 .
مدرس.
ما هذا الرقم ر
1
، لا يزال مجهولا، كل ما هو واضح هو ذلك ر
1
. في مواجهة هذا الموقف، أدرك علماء الرياضيات أنه يتعين عليهم التوصل إلى طريقة لوصفه باللغة الرياضية. ولذلك، تم تقديم رمز جديد قوس
معنظام التشغيل
أ، والذي يقرأ: قوس جيب التمام أ.
دعونا نكتب موضوع درس اليوم: "قوس جيب التمام لعددأ . حل المعادلاتكوس ر = أ ».
(الشريحتان 3، 4)
مدرس. سندرس اليوم في الدرس مفهوم قوس جيب التمام لعدد ما، ونتعلم كيفية حسابه وتطبيقه عند حل المعادلات المثلثية البسيطة. (الشريحة 3)
أركوسمترجمة من الوسائل اللاتينية قوس، قارن مع الكلمة قوس. رمز قوس كوس أ، التي قدمها علماء الرياضيات، تحتوي على العلامة (قوس ) , معنظام التشغيل أ- تذكير بالوظيفة الأصلية. (الشريحة 4)
افتح الكتاب المدرسي في الصفحة 89 واقرأ تعريف قوس جيب التمام.
يفتح الطلاب الكتاب المدرسي ويقرأون التعريف من الكتاب، مع تسليط الضوء على الشيء الرئيسي.
تعزيز وممارسة مفهوم جيب التمام القوسي لعدد وخوارزمية حسابه.
العمل الأمامي مع الفصل.
ما هو رقم جيب التمام يساوي أ?
باستخدام التعريف الذي تعلمته، ابحث عن معنى التعبير:
أركوس
(
);
قوس
معنظام التشغيل
(
);
قوس
معنظام التشغيل
(
).
(الشريحة 5)
أركوس
(
) =
;
قوس معنظام التشغيل ( ) = ;
أRC
معنظام التشغيل
(
) =
تنتمي جميع قيم a إلى المقطع من - 1 إلى 0. إلى أي ربع تنتمي قيم جيب التمام للقوس؟ أ?
قيم أركوس أتنتمي إلى الجزء من 0 إلى .
كيفية حساب القيمة أركوس (- أ)؟ دعنا ننتقل إلى الكتاب المدرسي ونجد الصيغة التي يتم من خلالها حساب القيمة أركوس (-أ) (اقرأ الصيغة وقم بتمييزها).
احسب: أركوس
(–
);
قوس
معنظام التشغيل
(–
);
أRC
معنظام التشغيل
(–
).
(الشريحة 6)
أركوس
(–
)=
;
أص
معكوس
(–
) =
;
أص
معكوس
(–
) =
كل المعاني (- أ)تنتمي إلى المقطع من – 1 إلى 0. إلى أي ربع تنتمي القيم؟ أركوس (-أ)?
اكتب المواد المرجعية. (الشريحة 6)
قيم قوس معنظام التشغيل (-أ)تنتمي إلى الجزء من إلى π .
يكتب الطلاب الصيغة في دفتر ملاحظاتهم.
نقوم بالحساب من شريحة على السبورة التفاعلية.
يمارس.ابحث عن معنى العبارة:
أ) أركوس ( ) – أركوس (- ) +
+ أركوس 1؛
(
الانزلاق
7)
ب) 2أركوس 0 + 3 أركوس 1 – أركوس (- )
(
الانزلاق
8)
5. العمل المستقل (يليه اختبار ذاتي). (الشريحة 9)
يعمل شخصان بشكل مستقل على السبورة، والباقي يعمل في دفاتر الملاحظات، ثم يتحقق من صحة التنفيذ. أولئك الذين عملوا على الواجب المنزلي يكتبون على السبورة المنشورات ثم تقديمها للتفتيش.
كوس ر = , الذي قررته... بمعرفة مفاهيم قوس جيب التمام، يمكننا الآن كتابة الإجابة لحل هذه المعادلة على النحو التالي.كوس ر = .
تحميل...